wartość oczekiwana, funkcje zmiennych losowych

[gienia]

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }}\).

Znaleźć \(\displaystyle{ E(R)}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest odległością \(\displaystyle{ (x,y)}\) od początku układu współrzędnych.

\(\displaystyle{ E(R)= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } \sqrt{x^2+y^2} \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} r^2\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}r^2} drd\varphi=\int_{0}^{r} r^2e^{- \frac{1}{2}r^2} dr}\)

Dobrze to w ogóle robię? Jak tak, to nie umiem policzyć tej całki. I trochę się już gubię, granica tej całki po \(\displaystyle{ r}\) ma być od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ r}\), czy do czegoś innego?

[bartek118]

Granica ma być do \(\displaystyle{ M}\) i trzeba wziąć \(\displaystyle{ M \to \infty}\).

[gienia]

A wariancja?

\(\displaystyle{ E(R^2)= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } (x^2+y^2) \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }=\lim_{M \to \infty } 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ \infty } r^3\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}r^2} dr= \lim_{M \to \infty } 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ \infty } t^{ \frac{5}{2}-1 }e^{-t} dt=2 \sqrt{2}\Gamma( \frac{5}{2})= \frac{3}{2} \sqrt{2 \pi}}\)

\(\displaystyle{ (ER)^2= \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ Var(R)=\frac{3}{2} \sqrt{2 \pi}-\frac{\pi}{2}}\)

A w odpowiedzi mam \(\displaystyle{ Var(R)=2-\frac{\pi}{2}}\)
gdzie mam błąd?

[Nakahed90]

Skąd się wzięło \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)? Prześledź jeszcze raz podstawienie t.

Popraw zapis:

Po czym całkujemy?

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } (x^2+y^2) \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }}\)

Czy nie brakuje gdzieś M?

\(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty } 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ \infty } r^3\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}r^2} dr}\)

[gienia]

\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}r^2,
dt=rdr,
r=(2t)^{ \frac{1}{2} }, r^3=(2t)^{ \frac{3}{2} }}\) stąd mi wyszło \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\), źle coś tu mam?

A z M powinno być chyba tak:

\(\displaystyle{ E(R^2)= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } (x^2+y^2) \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }dxdy=\lim_{M \to \infty } 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ M } r^3\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}r^2} dr= 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ \infty } t^{ \frac{5}{2}-1 }e^{-t} dt=2 \sqrt{2}\Gamma( \frac{5}{2})= \frac{3}{2} \sqrt{2 \pi}}\)

[Nakahed90]

Ale mi chodziło o to dlaczego \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) występuje jeszcze przed podstawieniem. Wykonaj podstawienie jeszcze raz, bo źle jest ono zrobione.

[gienia]

Źle przepisałam. Poprawiłam, to co widziałam, że jest źle, ale wynik mam ciągle zły

\(\displaystyle{ E(R^2)= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } (x^2+y^2) \frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }dxdy=\lim_{M \to \infty } \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{ M } r^3\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{1}{2}r^2} drd\varphi=\lim_{M \to \infty } \int_{0}^{ M } r^3e^{- \frac{1}{2}r^2} dr= 2 \sqrt{2} \int_{0}^{ \infty } t^{ \frac{5}{2}-1 }e^{-t} dt=2 \sqrt{2}\Gamma( \frac{5}{2})= \frac{3}{2} \sqrt{2 \pi}}\)

[Nakahed90]

Podstawienie masz źle. Zrób je jeszcze raz.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ t=\frac{r^2}{2} \\ dt=rdr}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ r^2=2t}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int r^3 e^{-\frac{1}{2}r^2}dr =\int r^2 e^{-\frac{r^2}{2}}rdr=\int 2te^{-t}dt}\)