Twierdzenie Poissona - błędy w tekście broszury

styczna · Post autor: **styczna** » 27 cze 2007, o 14:31

Czy ktoś może pomóc w rozwiązaniu zadania:
Tekst broszury zawiera n=100000 znaków. W trakcie pisania na komputerze każdy znak może zostać błędnie wprowadzony z prawdopodobieństwem 0,0001. Z kolei redaktor znajduje błąd z prawdopodobieństwem 0,9, po czym tekst wraca do autora, który znajduje każdy z pozostałych błędów z prawdopodobieństwem 0,5. Jaka jest szansa, że po obu korektach broszura będzie zawierała nie więcej niż 3 błędy?

jovante · Post autor: **jovante** » 27 cze 2007, o 18:24

Prawdopodobiństwo, że po obu korektach n-ty znak, będzie błędny wynosi

\(\displaystyle{ p=\frac{1}{10^{4}}\cdot(1-\frac{9}{10})\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2\cdot10^{5}}}\)

wobec czego dokładna wartość szukanego prawdopodobieństwa jest równa

\(\displaystyle{ P(X qslant 3)=\sum_{k=0}^{3} {{10^{5} \choose k}\frac{{(2\cdot10^{5}-1)}^{10^{5}-k}}{(2\cdot10^{5})^{10^{5}}}}}\)

Ponieważ policzenie wartości powyższego wyrażenia jest dosyć żmudne, można zastosować przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona, z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=n\cdot p=\frac{1}{2}}\). Ostatecznie otrzymujemy

\(\displaystyle{ P(X qslant 3)=\sum_{k=0}^{3}{\frac{e^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}^{k}}{k!}}\approx 0.998}\)

styczna · Post autor: **styczna** » 27 cze 2007, o 20:24

Dziękuję!