niezależność zmiennych losowych, korelacja

[gienia]

Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny w kole \(\displaystyle{ x^2+y^2 \le r^2}\).
Mam sprawdzić, czy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.

Chcę sprawdzić, czy \(\displaystyle{ f_X(x) \cdot f_Y(y)=f_{XY}(x,y)}\)

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_{}^{} \frac{1}{ \pi(x^2+y^2)} dy}\)
Nie wiem w jakich granicach to scałkować.


I jeszcze współczynnik korelacji \(\displaystyle{ \rho}\) miałam policzyć, dobrze to robię?
\(\displaystyle{ EX= \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{r} \frac{1}{ \pi r^2}r \cos\varphi rdr d \varphi= \frac{r}{\pi} \int_{0}^{2 \pi } \cos\varphid \varphi=0}\)

\(\displaystyle{ EY=0}\)

\(\displaystyle{ EXY= \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{r} \frac{1}{ \pi r^2}r^2 \cos\varphi\sin\varphi rdr d \varphi= \frac{r}{\pi} \int_{0}^{2 \pi } \cos\varphi\sin\varphi=\frac{r}{\pi} \int_{0}^{2 \pi } \frac{1}{2} \sin2\varphi=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ \rho=0}\)

[Medea 2]

Nie są niezależne, bo jeżeli \(\displaystyle{ X= r}\), to \(\displaystyle{ Y = 0}\).

[gienia]

Dzięki.
A gdybym chciała policzyć rozkłady brzegowe, to jak?

[Nakahed90]

Skąd taka gęstość??
Jeżeli (X,Y) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ A=\{(x,y)\in \mathbb{R} ^2:x^2+y^2\le r^2\}}\), to
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{\pi r^2} & (x,y)\in A \\ 0 & p.p. \end{cases}}\)

Z jakie wzoru liczysz \(\displaystyle{ \rho}\)? Bo w definicji współczynnika korelacji nie występują (przynajmniej wprost) pierwsze momenty.

A co do liczenia rozkładów brzegowych, to musisz wyznaczyć zakres dla x (w przypadku rozkładu brzegowego Y) oraz dla y (w przypadku rozkładu brzegowego X).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:-\sqrt{r^2-x^2}\le y \le \sqrt{r^2-x^2}\}}\)

[gienia]

Wzór na \(\displaystyle{ \rho}\) mam taki:
\(\displaystyle{ \rho= \frac{E(XY)-EXEY}{ \sqrt{Var(X)Var(Y)} }}\)

[Nakahed90]

Ok, mea culpa (o tej postaci zapomniałem). Zatem metoda jest dobra (musisz jedynie uwzględnić nową postać funkcji gęstości).

[gienia]

Tam gdzie liczę korelację mam chyba dobrą funkcję gęstości, nie?
Tylko na początku przy tej brzegowej dałam \(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi(x^2+y^2)}}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi r^2}}\)

[Nakahed90]

Rachunków dalszej części wtedy nie sprawdzałem (nie zauważyłem wtedy, że dalej bierzesz dobrą funkcję gęstości). Sam wynik jest poprawny (zapis już jednak nie).
To r w granicach i r w dr, to nie jest to samo r, więc wypadałoby je odróżnić (tzn. zmienną względem, której całkujesz oznaczyć jako R).

\(\displaystyle{ EX=\int_{0}^{2\pi} \int _{0}^{r}\frac{1}{\pi r^2} Rcos(\varphi) RdRd\varphi}\)

Tych całek (dla EX i EY) nie musiał liczyć. Zauważ, że zarówno w przypadku EX (jak i EY) mamy do czynienia z całką z funkcji nieparzystej po obszarze symetrycznym, więc całka ta musi być równa 0.