zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: gienia »

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ C}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=Ce^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }}\) jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)?

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dxdy=...}\)


\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dx=-6 \frac{1}{8x-2y}e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }|_{- \infty }^{ \infty }=\frac{1}{- \infty }e^{-( \infty ^2- \infty )}- \frac{1}{ \infty }e^{-( \infty ^2+ \infty )}=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dxdy=0}\)

A w odpowiedzi jest co innego, może ktoś mi pomóc znaleźć błąd?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: Nakahed90 »

Tak się nie da tego policzyć... Aby wprost te całki policzyć musisz doprowadzić do gęstości pewnego rozkładu normalnego.

Możesz też spróbować doprowadzić to do gęstości

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution
(gdyż podana gęstość bardzo przypomina ten rozkład) i skorzystać z tego, że całka ta będzie równa 1.

Poniżej masz rozpisane policzenie całki wewnętrznej (umieściłem to w tagach abyś mogła najpierw sama spróbować to policzyć, a dopiero później porównać swoje z tym). Całkę zewnętrzną będziesz musiała policzyć w ten sam sposób (rachunki tam już będą łatwiejsze).
Ukryta treść:    
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: gienia »

Dzięki! Z końcówką sobie poradziłam już.
Czyli ta całka wewnętrzna, którą policzyłeś, to jest rozkład brzegowy, tak? I te rozkłady brzegowe też do jedynki muszę się całkować, tak?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: Nakahed90 »

Tak, przy okazji wyszedł rozkład brzegowy dla zmiennej Y (oczywiście trzeba pamiętać jeszcze o uwzględnieniu w nim stałej C). Oczywiście, że się całkuje do jedynki-jak każda gęstość zmiennej losowej.
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: gienia »

... stribution

Tutaj przy "Bivariate case" jest jakiś dziwny wzór z korelacją, dlaczego tutaj nie musiałam jej liczyć? Bo korelacja jest równa zero? A skąd ja mam to wiedzieć tak od razu, że jest?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości

Post autor: Nakahed90 »

Dziwny wzór? Niekonieczne, tam jest podana ogólna postać wzoru (dla n=2). Nie musiałaś jej liczyć, bo inną metodą zastosowałaś (tzn. scałkowanie gęstości i przyrównanie wyniku do 1). Gdybyś chciała liczyć drugą metodą (o ile rzeczywiście byłby to taki rozkład) to byś musiała rozwiązać układ równań ze zmiennymi \(\displaystyle{ \sigma_{X}, \ \sigma_{Y}, \ \rho}\) (poprzez porównanie współczynników przy \(\displaystyle{ x^2, \ y^2, \ xy}\)) (ew. od razu zapisać to w takiej postaci aby ich wartości były widoczne).
ODPOWIEDZ