Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ C}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=Ce^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }}\) jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)?
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dxdy=...}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dx=-6 \frac{1}{8x-2y}e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }|_{- \infty }^{ \infty }=\frac{1}{- \infty }e^{-( \infty ^2- \infty )}- \frac{1}{ \infty }e^{-( \infty ^2+ \infty )}=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } e^{- \frac{1}{6}(4x^2-2xy+y^2) }dxdy=0}\)
A w odpowiedzi jest co innego, może ktoś mi pomóc znaleźć błąd?
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
Tak się nie da tego policzyć... Aby wprost te całki policzyć musisz doprowadzić do gęstości pewnego rozkładu normalnego.
Możesz też spróbować doprowadzić to do gęstości (gdyż podana gęstość bardzo przypomina ten rozkład) i skorzystać z tego, że całka ta będzie równa 1.
Poniżej masz rozpisane policzenie całki wewnętrznej (umieściłem to w tagach abyś mogła najpierw sama spróbować to policzyć, a dopiero później porównać swoje z tym). Całkę zewnętrzną będziesz musiała policzyć w ten sam sposób (rachunki tam już będą łatwiejsze).
Możesz też spróbować doprowadzić to do gęstości
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution
Poniżej masz rozpisane policzenie całki wewnętrznej (umieściłem to w tagach abyś mogła najpierw sama spróbować to policzyć, a dopiero później porównać swoje z tym). Całkę zewnętrzną będziesz musiała policzyć w ten sam sposób (rachunki tam już będą łatwiejsze).
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
Dzięki! Z końcówką sobie poradziłam już.
Czyli ta całka wewnętrzna, którą policzyłeś, to jest rozkład brzegowy, tak? I te rozkłady brzegowe też do jedynki muszę się całkować, tak?
Czyli ta całka wewnętrzna, którą policzyłeś, to jest rozkład brzegowy, tak? I te rozkłady brzegowe też do jedynki muszę się całkować, tak?
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
Tak, przy okazji wyszedł rozkład brzegowy dla zmiennej Y (oczywiście trzeba pamiętać jeszcze o uwzględnieniu w nim stałej C). Oczywiście, że się całkuje do jedynki-jak każda gęstość zmiennej losowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
... stribution
Tutaj przy "Bivariate case" jest jakiś dziwny wzór z korelacją, dlaczego tutaj nie musiałam jej liczyć? Bo korelacja jest równa zero? A skąd ja mam to wiedzieć tak od razu, że jest?
Tutaj przy "Bivariate case" jest jakiś dziwny wzór z korelacją, dlaczego tutaj nie musiałam jej liczyć? Bo korelacja jest równa zero? A skąd ja mam to wiedzieć tak od razu, że jest?
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
zmienna dwuwymiarowa, funkcja gęstości
Dziwny wzór? Niekonieczne, tam jest podana ogólna postać wzoru (dla n=2). Nie musiałaś jej liczyć, bo inną metodą zastosowałaś (tzn. scałkowanie gęstości i przyrównanie wyniku do 1). Gdybyś chciała liczyć drugą metodą (o ile rzeczywiście byłby to taki rozkład) to byś musiała rozwiązać układ równań ze zmiennymi \(\displaystyle{ \sigma_{X}, \ \sigma_{Y}, \ \rho}\) (poprzez porównanie współczynników przy \(\displaystyle{ x^2, \ y^2, \ xy}\)) (ew. od razu zapisać to w takiej postaci aby ich wartości były widoczne).