\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2 \pi } e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }}\)
Mam obliczyć \(\displaystyle{ P(X>1)}\).
W rozwiązaniu jest tak: \(\displaystyle{ P(X>1)= \int_{- \infty }^{ \infty } dy \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{2 \pi } e^{- \frac{1}{2}(x^2+y^2) }=\int_{1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{- \frac{1}{2}x^2 }}\)
Nie rozumiem do końca, skąd się wzięło to ostatnie przejście. \(\displaystyle{ y}\) nie powinien też być o \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), żeby sobie te całki tak spierwiastkować?
zmienna dwuwymiarowa, rozkład normalny
-
Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
zmienna dwuwymiarowa, rozkład normalny
Rozwiązanie z książki strasznie niechlujne (a wręcz błędne w kwestiach formalnych).
\(\displaystyle{ P(X>1)=\int_{-\infty}^{\infty}\int _{1}^{\infty} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}dxdy=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dxdy=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \cdot \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy}_{=1}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx}\)
\(\displaystyle{ P(X>1)=\int_{-\infty}^{\infty}\int _{1}^{\infty} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}dxdy=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dxdy=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \cdot \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy}_{=1}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx}\)