Rozkład chi kwadrat, obliczyć prawdopodobieństwo

[gienia]

\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład chi kwadrat, \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^{ \frac{1}{2}n-1 }}{2^{ \frac{1}{2}n} \sigma^n\Gamma( \frac{1}{2}n )}e^{- \frac{x}{2\sigma^2} }I_{(0, \infty )}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ P(X>\sigma^2)}\) dla \(\displaystyle{ n=3}\).

Nie umiem policzyć całki \(\displaystyle{ \int_{\sigma^2}^{ \infty } \frac{x^{ \frac{3}{2} }}{2^{ \frac{3}{2}} \sigma^3\Gamma( \frac{3}{2} )}e^{- \frac{x}{2\sigma^2} }}\).
Gdyby było od zera, to pewnie można by z funkcji gamma jakoś, a tak, to nie wiem jak.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \chi_{n} ^2}\) ma na pewno taką gęstość?

Jeżeli \(\displaystyle{ \sigma ^2}\) oznacza wariancję \(\displaystyle{ \chi_{n} ^2}\) to da się to policzyć wprost, ale wówczas \(\displaystyle{ P(X>\sigma ^2)}\) idzie tylko numerycznie (albo przez odczytanie wartości z tablic).

[gienia]

Tak mam w zbiorze zadań, dali ten rozkład i w nawiasie napisali, że to chi kwadrat

[Nakahed90]

Czyli on jako \(\displaystyle{ \chi ^2}\) biorą sumę \(\displaystyle{ N(0,\sigma ^2)}\), zamiast \(\displaystyle{ N(0,1)}\) (chociaż z taką gęstością się jeszcze nie spotkałem).

Ale nadal trochę bez sensu zadanie (bo wynik tej całki będzie zawierał funkcję nieelementarna, więc bez numerycznych obliczeń się nie obędzie).

Pozbywając się stałych z całki i argumentu funkcji exponent będziemy musieli policzyć całkę:

\(\displaystyle{ \int t^{\frac{3}{2}}e^{-t}dt=}\)
Podstawmy sobie \(\displaystyle{ t=y^2}\), wówczas:
\(\displaystyle{ dt=2ydy}\)

\(\displaystyle{ =\int y^3e^{-y^2}2ydy=2\int y^4 e^{-y^2}dy}\)

I dalej trzeba ją atakować przez części. Na końcu powinnaś dostać całkę:
\(\displaystyle{ \int e^{-y^2}dy}\),
której już nie będziesz w stanie policzyć (wyraża się ona przez tak zwaną funkcję błędu, \(\displaystyle{ erf(\cdot)}\))

PS. Może da się to zrobić sprytniej, ale ja na razie nie mam pomysłu na jakieś trikowe rozwiązanie.

PS2. Jeżeli się nie pomyliłem w rachunkach to powinno wyjść:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \int t^{\frac{3}{2}}e^{-t}dt=-t^{\frac{3}{2}}e^{-t}-\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}e^{-t}+\frac{3\sqrt{\pi}}{4}erf(\sqrt{t})+C}\)

[gienia]

Dzięki. Na końcu książki dali tablicę z tym rozkładem, więc widocznie chodziło im o to, żeby stamtąd wziąć wynik.