całka, wariancja

[gienia]

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{ \pi \sqrt{4- x^{2 } } } , \left| x\right| <2 \\ 0 \end{cases}}\)
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.

Wartość oczekiwaną mam, ale nie wiem, jak policzyć \(\displaystyle{ [EX]^2=\int_{}^{}\frac{x^2}{ \pi \sqrt{4- x^2 } }}\)

[Nakahed90]

Podstaw \(\displaystyle{ x=2sint}\).

[SlotaWoj]

Lub I podstawienie Eulera:

• \(\displaystyle{ t-x+\sqrt{4-x^2}}\)

Zapis \(\displaystyle{ (EX)^2}\) oznacza kwadrat wartości oczekiwanej, a wariancja jest równa:

• \(\displaystyle{ D^2X=E\left((X-EX)^2\right)=E(X^2)-\left(EX\right)^2}\)

i u Ciebie:

• \(\displaystyle{ D^2X=E(X^2)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{\pi\sqrt{4-x^2}}\mbox{ d}x=\int_{-2}^2 \frac{x^2}{\pi\sqrt{4-x^2}}\mbox{ d}x}\)

bo \(\displaystyle{ EX=0}\).