zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Post autor: gienia »

Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0, 1, 2,... z prawdopodobieństwami malejącymi z postępem geometrycznym. Znaleźć zależność między \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ V(X)}\).

\(\displaystyle{ E(X)=a \sum_{k=0}^{ \infty } k (\frac{1}{i})^{k}}\)

\(\displaystyle{ V(X)=a \sum_{k=0}^{ \infty } k^2 (\frac{1}{i})^{k} - [E(X)]^2}\)

Dobrze zaczęłam to robić, czy od początku źle zapisałam te prawdopodobieństwa? I nie wiem też jak policzyć te sumy, jeśli to jest dobrze.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Post autor: Premislav »

Wygląda OK.
Te sumy można stosunkowo łatwo policzyć.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty }kx^{k}= x\sum_{k=1}^{ \infty }kx^{k-1}= x\sum_{k=0}^{ \infty }(x^{k})'}\) i zastosuj tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie.
Potem podstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{i}}\) (albo i nie trzeba, bo to tylko oznaczenie). Z treści wynika, że \(\displaystyle{ x}\) (czy tam \(\displaystyle{ \frac{1}{i}}\)) jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\), więc założenia tw. o różniczkowaniu wyraz po wyrazie są spełnione.
Ew. można zastosować zmianę kolejności sumowania: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }kx^{k}= \sum_{k=1}^{ \infty } \sum_{n=1}^{k} x^{k}= \sum_{n=1}^{ \infty } \sum_{k=n}^{ \infty }x^{k}}\)
No a w tej drugiej sumie rozbij na \(\displaystyle{ \sum_{}^{} k(k-1) \left(\frac{1}{i}\right)^{k}+ \sum_{}^{} k\left(\frac{1}{i}\right)^{k}}\)
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Post autor: gienia »

Czyli wychodzi
\(\displaystyle{ EX= \frac{x}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ EX^2=\sum_{}^{} k(k-1) x^{k}+EX=x^2\sum_{k=0}^{ \infty }(x^{k})''+EX=\frac{x^2}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ VX=EX^2-[EX]^2=\frac{x^2}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}-\frac{x^2}{(1-x)^4}=...=\frac{x(1-2x)}{(1-x)^4}}\)

Wychodzi mi coś takiego, a w odpowiedzi jest, że \(\displaystyle{ VX=EX+[EX]^2}\).
Co jest nie tak?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Post autor: Premislav »

Zgubiłaś \(\displaystyle{ a}\), więcej błędów nie widzę -te sumy wyszły mi tak samo (w sumie to napisałem wskazówkę w taki sposób, że mogło to doprowadzić do zapomnienia o tym \(\displaystyle{ a}\), muszę popracować nad formą). BTW warto pamiętać, że ma być
\(\displaystyle{ a \sum_{n=0}^{ \infty } q^{n}=1}\), czyli tak naprawdę \(\displaystyle{ a=1-q}\) (skoro rozkład zmiennej jest skupiony na \(\displaystyle{ \NN}\), to te prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki).-- 6 sie 2015, o 14:09 --Tfu, \(\displaystyle{ 1-x}\), nie \(\displaystyle{ 1-q}\), znowu mieszam oznaczenia.
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zależność między wartością oczekiwaną a wariancją

Post autor: gienia »

Dzięki
ODPOWIEDZ