Nierówność z granicą górną

[Medea 2]

Zad. 6 Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty P(A_i) = \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n P(A_i)P(A_j)}{[\sum_{i=1}^n P(A_i)]^2} = \lambda}\), to \(\displaystyle{ P(\limsup A_i) \ge 2 - \lambda}\).

Moim zdaniem ułamek stojący za \(\displaystyle{ \liminf}\) jest równy stale jeden, więc teza zadania mówi, że \(\displaystyle{ P(\limsup A_i) = 1}\), a to jest dużo mocniejsze niż lemat Borela-Cantelliego. Co robię nie tak? Do zadania jest dołączona wskazówka - jeśli to konieczne, mogę ją przepisać. (Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa - J. Jakubowski, R. Sztencel - Rozdział 4.3)

[Premislav]

Twojemu rozumowaniu nic nie można zarzucić, i to właśnie problem, bo taka teza jest nieprawdziwa
(i nawet w Sztenclu był bardzo prosty kontrprzykład, rozdział oczywiście 4.3, w starym wydaniu to jest str. 56, w nowym nie pomnę).

A nie powinno być w mianowniku sumy kwadratów zamiast kwadratu sumy? Nowe wydanie oddałem już do biblioteki, a w antycznym, które mam na kompie, w ogóle nie ma tego zadania w rozdziale 4.3
Może wrzuć tę wskazówkę, bo to może naświetlić ewentualny błąd w zapisie tezy.

[Medea 2]

Czy ktoś wie jak to naprawić? Niestety nie mam już podręcznika Sztencla, ale przez trochę materiałów się przekopałam. Najlepsze, co znalazłam, to tak zwany lemat Kochena-Stone'a:

Jeśli \(\displaystyle{ A_n}\) jest ciągiem zdarzeń takich, że \(\displaystyle{ \textstyle \sum_n P(A_n) = \infty}\) oraz

\(\displaystyle{ \liminf_{k\to\infty}\frac{\sum_{1\le m,n \le k}{P}(A_m\cap A_n)}{(\sum_{n=1}^k{P}(A_n))^2}<\infty}\),

to z dodatnim prawdopodobieństwem zajdzie nieskończenie wiele spośród \(\displaystyle{ A_n}\).