Arytmetyczny ruch Browna i wzór Ito.

[tometomek91]

Cześć,

niech \(\displaystyle{ B(t)}\) oznacza ruch Browna a \(\displaystyle{ S(t)}\) dowolny proces stochastyczny. Niech

\(\displaystyle{ Y(t)=Y_0 + \mu S(t) + \sigma B(S(t))}\)

czyli \(\displaystyle{ Y(t)}\) jest arytmetycznym ruchem Browna z czasem \(\displaystyle{ S(t)}\).

I teraz rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(y,t)}\) (która jest dwukrotnie różniczkowalna ze względu na y i różniczkowalną ze względu na t - założenia z twierdzenia Ito). Należy znaleźć

\(\displaystyle{ df(Y(t),t)}\)

używając wzoru Ito (albo wzoru Ito dla semi-martyngałów).

Nie wiem jak różniczkować \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}}\), ale wiem że odpowiedzią jest
\(\displaystyle{ df = f_t dt + \sigma f_x d B(S(t)) + \left( \mu f_x+ \frac{1}{2} \sigma^2 f_{xx} \right) dS(t)}\)

Mógłby ktoś wytłumaczyć skąd się wziął ostatni człon?

[Alef]

Podaj tytuł książki w której to znalazłeś. Chciałbym sprawdzić czy rzeczywiście

\(\displaystyle{ dY(t)dY(t)=\sigma^{2}dS(t)}\)

Dzięki.



Masz funkcję \(\displaystyle{ f(y,t)}\), zatem ze wzoru Ito:

\(\displaystyle{ df(Y(t),t)=d_{t}f(Y(t),t)dt+d_{y}f(Y(t),t)dY_{t}+\frac{1}{2}d_{yy}f(Y(t),t)dY_{t}dY_{t}}\)

Ostatni człon to tzw. poprawka Ito, która różni analizę stochastyczną od analizy matematycznej.

Teraz

\(\displaystyle{ Y(t)=Y_0 + \mu S(t) + \sigma B(S(t))}\)

czyli w postaci różniczkowej

\(\displaystyle{ dY(t)= \mu dS(t) + \sigma dB(S(t))}\)

W Twoim przypadku:

\(\displaystyle{ dY(t)dY(t)=\sigma^{2}dS(t)}\) <- Sprawdzić!

Zatem ostatecznie

\(\displaystyle{ df(Y(t),t)=d_{t}f(Y(t),t)dt+d_{y}f(Y(t),t)\left[\mu dS(t) + \sigma dB(S(t)) \right] +\frac{1}{2}d_{yy}f(Y(t),t)\sigma^{2}dS(t)}\)

i

\(\displaystyle{ df(Y(t),t)=d_{t}f(Y(t),t)dt+\sigma d_{y}f(Y(t),t)dB(S(t)) +\left[ \mu d_{y}f(Y(t),t)+\frac{1}{2}d_{yy}f(Y(t),t)\sigma^{2}\right]dS(t)}\)

[tometomek91]

Dziekuje za odpowiedz, temat jest bardzo obszerny, bazuje na roznych anglojezycznych pdfach z internetu wyszukanych pod fraza 'subdiffusive brownian motion'.