Suma zm. losowych o rozkładzie Geo(p) daje rozkład NB(n,p)

[kiermelek]

Witajcie!

Czy ktoś z Was spotkał się, gdzieś w literaturze z dowodem poniższego twierdzenia?

Twierdzenie.
Niech \(\displaystyle{ Y_1 , Y_2, \ldots , Y_n}\)będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowych geometrycznych rozkładach prawdopodobieństwa. Wówczas suma \(\displaystyle{ X=\sum_{i=1}^{n}Y_i}\) przyjmuje rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n i p .

Próbowałam go udowodnić poprzez dowód indukcyjny, ale szczerze mam problem już na początku kroku indukcyjnego.

Zaczęłam tak:

\(\displaystyle{ 0^{o}}\)Sprawdzenie poprawności twierdzenia dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ P(X=n)={k-1 \choose 1-1}p^{1}(1-p)^{k-n}={k \choose 0}p(1-p)^{k}=p(1-p)^{k}}\)

\(\displaystyle{ 1^{o}}\)Założenie indukcyjne:

Zakładamy, że suma \(\displaystyle{ X_{n}}\) składająca się z \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład geometryczny, przyjmuje rozkład ujemny dwumianowy dany wzorem:
\(\displaystyle{ P(X_{k}=n)={k-1 \choose n-1}p^{n}(1-p)^{k-n}}\)

\(\displaystyle{ 2^{o}}\)Teza indukcyjna:

Niech \(\displaystyle{ Y_{n+1}}\) będzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym, przy czym \(\displaystyle{ P(Y_{n+1})=p(1-p)^r}\), nie zależy od zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y_1 , Y_2, \ldots , Y_n}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ P(X_{k}=n+1)={k-1 \choose n-1+1}p^{n+1}(1-p)^{k-n+1}={k-1 \choose n}p^{n+1}(1-p)^{k-n+1}}\)

\(\displaystyle{ 3^{o}}\) Krok indukcyjny

\(\displaystyle{ P(X_{k}=n)={k-1 \choose n-1}p^{n}(1-p)^{k-n}+ p(1-p)^{k}=...?}\)
Najbardziej mi zależy, za wskazanie źródła dowodu (książki, gdzie go znajdę), ale będę również wdzięczna, jeśli ktoś przedstawi swoje rozwiązanie...

[Nakahed90]

Wg mnie lepiej tutaj skorzystać z własności funkcji generującej momenty, tzn:

Jeżeli \(\displaystyle{ Y_{1},...,Y_{n}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ X=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}}\) to:
\(\displaystyle{ M_{X}(\cdot)=\prod_{i=1}^{n}M_{Y_{i}}(\cdot)}\)

[kiermelek]

Wyznaczymy FGM dla rozkładu geometrycznego.
\(\displaystyle{ M(t)&=E(e^{tk})=\sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}\cdot P(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}(1-p)^{k} p =p\sum_{k=0}^{\infty}e^{t\dot k}q^{k}=p\sum_{k=0}^{\infty}(e^{t}q)^{k}=p\sum_{k=0}^{\infty}(e^{t}q)^{k}=p\frac{1}{1-qe^t}}\)

Przy użyciu własności funkcji generującej momenty oraz wzoru na FGM dla rozkładu geometrycznego otrzymamy wzór na FGM dla rozkładu ujemnego dwumianowego:
\(\displaystyle{ M_{N}(t)&=M_{Y_1+Y_2+...+Y_r}(t)=M_{Y_1}(t)M_{Y_2}(t)...M_{Y_r}(t)={(p\frac{1}{1-qe^t})}^r}\)

Zatem racja możemy wnioskować, że suma nieujemnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym przyjmuje rozkład ujemny dwumianowy.

Ale, czy możemy to traktować jako dowód tego faktu?

[Nakahed90]

Tak, w pełni poprawny dowód.

[kiermelek]

Dzięki wielkie