proces Yule'a

[bobek2010]

Rozważamy populację elementów, które mogą (przez podział lub inny sposób) rodzić nowe elementy, ale nie mogą umierać. Załóżmy, że podczas pewnego krótkiego odcinka czasu o długości \(\displaystyle{ h}\) każdy element z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \lambda h+o(h)}\) rodzi nowy element; stała \(\displaystyle{ \lambda}}\) charakteryzuje szybkość wzrostu populacji. Jeżeli nie ma wzajemnego oddziaływania między elementami i jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t}\) liczebność populacji wynosi \(\displaystyle{ n}\) elementów to prawdopodobieństwo urodzenia sie nowego elementu w ciągu odcinka \(\displaystyle{ (t,t+h)}\) wynosi \(\displaystyle{ n\lambda h+o(h)}\). Zakładamy, że w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) populacja liczyła \(\displaystyle{ i}\) elementów. Obliczyć \(\displaystyle{ P_n(t)}\). Znaleźć wartość oczekiwana i wariancję dla procesu Yule'a.

[Adifek]

Czym jest \(\displaystyle{ P_n(t)}\)?

[rafalpw]

Pewnie \(\displaystyle{ P_n(t)=P(X_t=n)}\), gdzie \(\displaystyle{ X_t}\) jest liczbą populacji w chwili \(\displaystyle{ t}\).