prawdopodobieństwo warunkowe

[pasjonatka]

Talię \(\displaystyle{ 24}\) kart potasowano i każdemu z \(\displaystyle{ 4}\) graczy rozdano po \(\displaystyle{ 6}\) kart. Jeden z graczy obejrzał cztery swoje karty i stwierdził, że nie ma wśród nich asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten gracz w ogóle nie ma asa.

[janusz47]

\(\displaystyle{ A}\) - gracz w ogóle nie ma asa

\(\displaystyle{ B}\) - gracz nie ma asa w otrzymanych czterech kartach na rękę.

\(\displaystyle{ Pr(A|B) = \frac{Pr(A \cap B}{Pr(B)}).}\)

\(\displaystyle{ Pr(A|B)=\frac{{16\choose 2}}{{20\choose 2}}=\frac{16\cdot 15}{20\cdot 19}=\frac{12}{19} \approx 0,63.}\)

Program R
> P= choose(16,2)/choose(20,2)
> P
[1] 0.6315789

[leszczu450]

Żeby rozjaśnić skąd wzięły się powyższe rachunki:

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{ {20 \choose 4} }{ {24 \choose 4} }}\) - chce w tych czterech kartach nie mieć żadnego asa. Dlatego wszystkie zdarzenia to 4-elementowe podzbiory zbioru 24-elementowego. Zaś zdarzenia sprzyjające to wszystkie 4-elementowe podzbiory zbioru 20-elementowego, bo wyrzucam tutaj te 4 asy.

Pełen analog jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\). \(\displaystyle{ A \cap B}\) to zdarzenie, że w mojej szóste kart nie ma ani jednego asa. Więc to będzie równe \(\displaystyle{ \frac{ {20 \choose 6} }{ {24 \choose 6} }}\).

Podsumowując:

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{ \frac{ {20 \choose 6} }{ {24 \choose 6} }}{\frac{ {20 \choose 4} }{ {24 \choose 4} }}}\)

A to jest równe dokładnie tyle, ile wyszło mojemu przedmówcy : )