Rozkład warunkowy

[PiotrWP]

Dwie ściany zwykłej (sześciennej) kostki do gry pomalowano na czarno ,trzy na zielono i jedną na biało.Rzucono 3 razy kostką.Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę pojawień się ściany białej w pierwszych trzech rzutach, a \(\displaystyle{ Y}\) liczbę pojawień się ściany białej w ostatnich trzech rzutach.Wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ P(X|Y=0)}\)

\(\displaystyle{ P(X=k|Y=0)= \frac{P(X=k \wedge Y=0)}{P(Y=0)} \ k\in\{0,1,2\}}\)
Ale dalej jakoś nie mogę sobie z tym poradzić.

[kropka+]

Jeśli rzucamy kostką \(\displaystyle{ 3}\) razy, to czym się różnią \(\displaystyle{ 3}\) pierwsze rzuty od \(\displaystyle{ 3}\) ostatnich?

[PiotrWP]

Eee ,miało być oczywiście rzucamy 3 razy i X jest 2 pierwsze a Y dwa ostatnie

[kropka+]

Jest pięć ścian kolorowych i jedna biała, więc prawdopodobieństwo wyrzucenia białej ściany to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) a kolorowej to \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\).
Głowy nie dam, ale na chłopski rozum policzyłabym tak:
\(\displaystyle{ P(X=0 \wedge Y=0)= \left( \frac{5}{6}\right) ^{3} \\ \\
P(Y=0)=\left( \frac{5}{6} \right) ^{2}}\)

Stąd \(\displaystyle{ P(X=0|Y=0)= \frac{5}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(X=1 \wedge Y=0)= \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right) ^{2}}\)

Czyli \(\displaystyle{ P(X=1|Y=0)= \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(X=2 \wedge Y=0)=0 \Rightarrow P(X=2|Y=0)=0}\)

Czyli mamy

\(\displaystyle{ P(X=k)|Y=0)= \begin{cases} \frac{5}{6} \ dla \ k=0 \\ \frac{1}{6} \ dla \ k=1 \\ 0 \ dla \ k=2 \end{cases}}\)

Może to ktoś sprawdzi.