Ciąg zmiennych losowych o rozkładzie gamma

[gienia]

\(\displaystyle{ X_{n}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie gamma \(\displaystyle{ G(2,1)}\).

Jak obliczyć \(\displaystyle{ P(limsupA_{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n}=\{X_{n} > lnn \}}\)?

[Adifek]

Lemat Borela-Cantellego.

[gienia]

Czyli każda z tych zmiennych będzie miała rozkład \(\displaystyle{ xe^{-x}}\), tak?
Tylko nie wiem, jak będzie wyglądał zbiór \(\displaystyle{ A_n}\). Jak do tego \(\displaystyle{ xe^{-x}}\) włożyć \(\displaystyle{ n}\), żeby rozwiązać \(\displaystyle{ {X_{n} > lnn}\)?

[Nakahed90]

Prawie, ich funkcją gęstości będzie \(\displaystyle{ xe^{-x}\mathbf{1}_{(0,\infty)}(x)}\)
\(\displaystyle{ P(A_{n})=P(X_{n}> lnn)= \int_{ln n}^{\infty}xe^{-x}dx=...}\)

[gienia]

\(\displaystyle{ P(A_{n})= \frac{1}{n} (1+lnn)}\).

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n} (1+lnn)= \infty}\), czyli \(\displaystyle{ P(limsupA_{n})=1}\) z lemat Borela-Cantellego, tak?

[Nakahed90]

Tak (w gwoli ścisłości ta suma powinna być od 1, a nie od 0).