Dwa zadania

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

1.Wiadomo że \(\displaystyle{ SuppX=SuppY=\{0,1,2\}}\).Wiadomo także że \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)=P(Y=2|X=0)=0 , P(X=0)=P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2), P(X=1|Y=0)=P(X=1|Y=2), P(X=0|Y=0)=P(X=2|Y=2)}\)
i \(\displaystyle{ P(Y=1|X=0)= \frac{1}{2}}\)
Wyznaczyć rozkłady \(\displaystyle{ X,Y}\).

Czy tutaj jest prawdą że \(\displaystyle{ P(X=0)=P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2)= \frac{1}{3}}\) ?

2.Gęstość rozkładu łącznego wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 1 \ gdy \ x>0 \wedge 0<y<-x+1 \\ -3y \ gdy \ x<0 \wedge -x-1<y<0 \\ 0 \ w.p.p\end{cases}}\).Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=|X|+|Y|}\) i rozstrzygnąć czy \(\displaystyle{ P(Z>0.75)<P(Z<0.75)}\).

\(\displaystyle{ F_z(t)=P(Z \le t)=P(|X|+|Y| \le t)=\iint _{|X|+|Y| \le t} f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Jak interpretować zbiór \(\displaystyle{ |X|+|Y| \le t}\) ? Bo nie mam jawnie zadanego y ,więc o ile mogę go narysować (taki obrócony kwadrat ) to nie wiem jak to interpretować do t
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Dwa zadania

Post autor: SlotaWoj »

  1. PiotrWP pisze:\(\displaystyle{ SuppX=SuppY=\{0,1,2\}}\)
    Od kiedy to liczba jest równa zbiorowi liczb? O co tutaj chodzi?
  2. Czy nie można napisać tak:
    • \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)=P(Y=2|X=0)=0 \\
      P(X=0)=P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2) \\
      P(X=1|Y=0)=P(X=1|Y=2) \\
      P(X=0|Y=0)=P(X=2|Y=2)}\)
    aby nie było wątpliwości (czytaj: nie trzeba było gapić się jak „sroka w kość”) gdzie się kończy jedna i zaczyna druga zależność?
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

1.To i to jest zbiór. SuppX to zbiór nośników zmiennej X.
2.Przepisałem żywcem z egzaminu który był w zeszłym roku.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Dwa zadania

Post autor: SlotaWoj »

Próbowałem pierwsze zadanie. Jestem prawie pewien, że prawdą jest:
  • \(\displaystyle{ P(X=0)=P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2)=\frac{1}{3}}\)
W sprawie rozkładu.
Usiłowałem wypełnić tablicę \(\displaystyle{ P(X|Y)}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y|X)}\) dla \(\displaystyle{ X;Y\in\{0;1;2\}}\) i nie mogłem poradzić sobie z tym, że:
  • \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)=P(Y=2|X=0)=0}\)
tzn. prawdopodobieństwa warunkowe są „w obie strony”
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

Ok ,a coś o zadaniu nr 2 ?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dwa zadania

Post autor: pyzol »

Znaczy lepiej wypełnić tabelkę typu: \(\displaystyle{ P(X=i,Y=j)}\),
wtedy wnioskować można od razu, że \(\displaystyle{ P(X=1,Y=1)=0}\).
Ogólnie otrzymamy jakąś taką tabelkę:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c||c|c|c}
&1&2&3\\\hline \hline
1&p&q&\\\hline
2&&0&\\\hline
3&0&q&p
\end{array}}\)

Łatwo uzupełnić ją dalej, gdyż \(\displaystyle{ P(X=0)=...}\)
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

Cały problem że to zadanie jest strasznie jakoś tak niechlujnie zapisane.Właściwie nie wie co z czym połączyć żeby to zrobić.Bo pewnie te warunkowe pstwa są po to żeby zrobić rozkład łączny ,ale nie wiem właściwie jak to sprawnie zrobić.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Dwa zadania

Post autor: SlotaWoj »

Robiłem podobnie jak Pyzol, z tym że miałem dwie tabele: \(\displaystyle{ P(X|Y)}\) (prawie taka jak powyżej) i \(\displaystyle{ P(Y|X)}\) , w której miałem jedną, izolowaną wartość \(\displaystyle{ P(Y=2|X=0)=0}\) .

Nie wiem jak przeliczyć:
  • \(\displaystyle{ P(Y=2|X=0)=0}\) na \(\displaystyle{ P(X=0|Y=2)}\) .
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

Ok ,a co z zadaniem 2 ?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Dwa zadania

Post autor: SlotaWoj »

Otrzymałem takie dwie tabele:
  • \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
    P(X|Y)&&X&0&1&2\\ \hline
    &&P(X)&A&2B&1-A-2B \\ \hline
    Y&P(Y)&&&& \\ \hline
    0&A&&C&B&1-2A-B-C \\ \hline
    1&A&&B&0&A-B \\ \hline
    2&A&&A-B-C&B&C \\ \hline
    \end{tabular}}\)
i
  • \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
    P(Y|X)&&X&0&1&2\\ \hline
    &&P(X)&A&2B&1-A-2B \\ \hline
    Y&P(Y)&&&& \\ \hline
    0&A&&&& \\ \hline
    1&A&&&& \\ \hline
    2&A&&0&& \\ \hline
    \end{tabular}}\)
W lewych górnych narożnikach powinno być \(\displaystyle{ P(X|Y)}\) i \(\displaystyle{ P(Y|X)}\) ale widocznie LaTeX w tabeli traktuje znak „|” specjalnie i jest „jak jest”.

Wiadomo, że \(\displaystyle{ A=\frac{1}{3}}\) . Trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\).
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Dwa zadania

Post autor: PiotrWP »

Ponawiam pytanie o zad 2.Jak interpretować ten obszar w zależności od t
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Dwa zadania

Post autor: SlotaWoj »

\(\displaystyle{ |X|+|Y|\le t}\) będzie kwadratem o współrzędnych \(\displaystyle{ (t;0)}\), \(\displaystyle{ (0;t)}\), \(\displaystyle{ (-t;0)}\) i \(\displaystyle{ (0;-t)}\).

\(\displaystyle{ f(x;y)= \begin{cases}
f_1(x;y)=1\ ;\quad\quad\quad\ x>0 \wedge 0<y<-x+1 \\
f_{-3y}(x;y)=-3y\ ;\quad x<0 \wedge -x-1<y<0 \\
f_0(x;y)=0\ ;\quad\quad\quad\ \mbox{w.p.p}\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ F_Z(t)=P(Z\le t)=P(|X|+|Y|\le t)=\iint _{|X|+|Y|\le t} f(x,y)\ \mbox{d}x \mbox{d}y= \\
=\int_0^t f\left(x(t);y(t)\right)\ \mbox{d}t=\int_0^t f_{-3y}\left(x(t);y(t)\right)\ \mbox{d}t + \int_0^t f_1\left(x(t);y(t)\right)\ \mbox{d}t}\)
ODPOWIEDZ