Witam,
Mam problem z zadaniem z marcowego egzaminu aktuarialnego:
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots, X_{n+1}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0,\theta)}\). Parametr \(\displaystyle{ \theta >}\) 0 jest nieznany i jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie o gęstości \(\displaystyle{ p(\theta)=\frac{4}{\theta^5}, \theta>1}\)
Wyznaczamy predyktor bayesowski \(\displaystyle{ \hat{X}_{n+1}}\) zmiennej \(\displaystyle{ X_{n+1}}\) w oparciu o próbę \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots X_n}\) przy kwadratowej funkcji straty. Wartość oczekiwana tego predyktora, czyli wielkość \(\displaystyle{ E(\hat{X}_{n+1} | X_1, X_2, \dots X_n)}\) jest równa:()
Na pewnym etapie obliczeń nie wiem czy nie popełniam błędu, zaczynam klasycznie:
\(\displaystyle{ E(\hat{X}_{n+1} | X_1, X_2, \dots X_n)=\int\limits_{1}^{\infty}E(\hat{X}_{n+1}|\theta )f(\theta | X_1, X_2, \dots X_n) d\theta \\
f(\theta | X_1, X_2, \dots X_n)=\frac{f( X_1, X_2, \dots X_n|\theta)f(\theta)}{\int f( X_1, X_2, \dots X_n|\theta)f(\theta)d\theta}\ \hspace{3cm} \heartsuit} \ \\[0,4cm]
f( X_1, X_2, \dots X_n|\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^n}&\forall_{i}\ \ X_i \in (0,\theta) \\ 0 & \text{w przeciwnym wypadku}\end{cases}}\)
I na tym etapie mam wątpliwości, jaką dolną granicę całkowania w mianowniku \(\displaystyle{ \heartsuit}\) dobrać, bo jak rozpatruję dwa przypadki:\(\displaystyle{ \text{max}\{X_i\}_{i\le n+1}>1}\) oraz \(\displaystyle{ \text{max}\{X_i\}_{i\le n+1}<1}\) to całka która mi wychodzi w późniejszym etapie jest w zasadzie niepoliczalna... jak na to spojrzeć, jak to dobrze policzyć?