Minimum - rozkład

[Premislav]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej
\(\displaystyle{ Y=\min\left\{ \left| X\right|, \left| X\right|^{2} \right\}}\).
Proszę o jakieś wskazówki.

Żeby nie zgrywać lenia, napiszę tyle, że podszedłem do tego od strony dystrybuanty i próbowałem coś kombinować ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, no i mam
\(\displaystyle{ \PP(Y \le t)= \begin{cases}0, &\mbox{ jeśli } t \le 0 \\ \PP(X^{2} \le t|\left| X\right| \le 1)\mathbb{P}(\left| X \right| \le 1) &\mbox{ jeśli }t\in [0,1)\\ \mathbb{P}(\left| X\right| \le 1)+\mathbb{P}(\left| X\right| \le t|\left| X\right| \ge 1)\mathbb{P}(\left| X\right| \ge 1) &\mbox{ jeśli }t \ge 1\end{cases}}\)
więc przez to przeklęte \(\displaystyle{ X^{2}}\) dostaję jakąś całkę, której nie umiem policzyć ani sprowadzić do całek po gęstości rozkładu normalnego, czy innych "znanych".

Jeżeli kogoś obraża mój brak spostrzegawczości, to przykro mi, ale ja nie wybierałem takiego stanu rzeczy (nikt zresztą nie wybierał).

[Medea 2]

Zakładam, że znasz funkcję błędu. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\) mamy \(\displaystyle{ t^2 < t}\), zatem odpowiedź brzmi: \(\displaystyle{ P(Y \le t)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\) to \(\displaystyle{ \textrm{erf} (\sqrt{t/2})}\), dla \(\displaystyle{ t \ge 1}\) zaś \(\displaystyle{ \textrm{erf} (t / \sqrt{2})}\).

[Premislav]

Dziękuję za odpowiedź. Faktycznie, głupie pytanie.

edit: ech, napisałem coś nie w tym temacie, co chciałem, idę spać.