5 zad: urodziny, rzuty moneta, strzelec i poker

Margaretta · Post autor: **Margaretta** » 8 lut 2005, o 00:13

nie mam pomysłu na rozwiązanie tych zadań =/ jeśli któś mógłby mi jakoś wytłumaczyc co jak i dlaczego nalezy zrobić => ?

1.Załóżmy, że w każdym dniu roku rodzi się tyle samo osób i żadna z rozważanych osób nie rodzi sie 29.02 Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) dwie losowo wybrane osoby obchodzą ur tego samego dnia.
b) wśród 3 losowo wybranych osób co najmniej 2 obchodzą ur tego samego dnia.

2.Iloma co najmniej monetami trzeba rzucić, by prawdopodobieństwo, że chociaż na jednej z nich wypadnie orzeł było większe od 90%?

3.Ile osób należy spytać w jaki dzień tygodnia się urodziły, by prawdopodobieństwo że wśród tych osób znajdzie się co najmniej 1 urodzona w niedzielę było większe od prawdopodobieństwa , że takiej osoby wśród pytanych nie ma?

4. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,6. Ile strzałów powinien wykonać, by prawdopodobieństwo że trafi cel chociaż raz było większe od 99%?

5. Na początku gry w pokera gracz otrzymuje 5 kart z talii 52.
a)Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednej pary( np 2 szóstek, 2 dam itd)?
b) co jest bardziej prawdopodobne otrzymanie trójki czy dwóch par?

pozdrawiam =)

ps. do moderatorów: rodzieliłam temat na 2, na więcej nie widzę sensu, bo byłoby to zbędne zaśmiecanie forum postami=/ i tamten zablokowany skasujcie proszę, bo brzydko wygląda;( mam nadzieję, że tak wystarczy =>

pozdr

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 8 lut 2005, o 01:59

1)a)A-zdarzenie że dwie osoby mają tego samego dnia urodziny
B_i- zdarzenie że dwie osoby maja urodziny i-tego dnia
C_i-zdarzenie że dana oosoba ma urodziny i-tego dnia
zachodzi:
\(\displaystyle{ P(A)=P(B_1)+P(B_2)+...+P(B_{365})=P(C_1)*P(C_1)+P(C_2)*P(C_2)+...+P(C_{365})*P(C_{365})=}\)
\(\displaystyle{ =(\frac{1}{365})^2+(\frac{1}{365})^2+...+(\frac{1}{365})^2=\frac{1}{365}}\)
b) Analogicznie jak w a) pokazujemy że prwdopodobieństwo tego że 3 osoby mają
uroodziny tego samego dnia wynosi: \(\displaystyle{ {1 \over 365^2}}\)
prawdopodobienstwo ze conajmniej 3 osoby sposrod X,Y,Z maja urodziny tego samego dnia
to suma prawdoposobienstw ze X,Y i Y,Z i Z,X maja urodziny tego samego dnia - 2-krotnosc
prwdopodobienstwa ze 3 osoby maja urodziny tego samego dnia
\(\displaystyle{ P=3*{1 \over 365}-2*{1 \over 365^2}=\frac{3*365-1}{365^2}}\)

2)to ze wypadnie conajmniej jeden orzeł jest równoznaczne z tym że nie wypadną same reszki
wiec dla n monet prawdopodobienstwo to wynosi
\(\displaystyle{ P=1-{1 \over 2^n}={2^n-1 \over 2^n}}\)
wystarczy rozwiazac nierownosc:
\(\displaystyle{ 0,9}\)

Yavien · Post autor: **Yavien** » 11 lut 2005, o 02:59

fakt, zadania 2,3,4 sa oparte na tym samym motywie.

W pierwszym liczylabym inaczej troche:
a) A - dwie losowo wybrane osoby obchodza urodziny tego samego dnia:
- wybieramy pierwsza osobe - ona obchodzi urodziny jakiegos dnia x - zupelnie nie ma znaczernia, jaki to jest dzien roku.
- Losujemy druga osobe (a raczej losujemy druga date

). Mamy tu 365 mozliwosci. I albo druga osoba trafila w x, albo nie, stad prawdopodobienstwo jest rowne P(A)=\(\displaystyle{ {1}\over{365}}\).

b) B - wśród 3 losowo wybranych osób co najmniej 2 obchodzą ur tego samego dnia.
To mozna tez zrobic przez zaprzeczenie (tak lubie robic we wszystkich zadaniach, gdzie jest zwrot "co najmniej").
Zdarzenie przeciwne do B:
B' - wśród 3 losowo wybranych osób zadne dwie nie obchodzą ur tego samego dnia. Czyli wszystkie urodzily sie w innym dniu roku:
P(B') = \(\displaystyle{ \frac{365\cdot 364\cdot 363}{365^3} = \frac{364\cdot 363}{365^2}}\)
I szukane prawdopodobienstwo:
P(B) = \(\displaystyle{ 1- \frac{364\cdot 363}{365^2} = \frac{365^2 - 364\cdot 363}{365^2}}\)
A bez zaprzeczenia to powinno byc tak, to jest prawie dobrze:

_el_doopa pisze:prawdopodobienstwo ze conajmniej 3 osoby sposrod X,Y,Z maja urodziny tego samego dnia to suma prawdoposobienstw ze X,Y i Y,Z i Z,X maja urodziny tego samego dnia - 2-krotnosc prwdopodobienstwa ze 3 osoby maja urodziny tego samego dnia

Tylko, że prawdopodobienstwo, ze dokladnie dwie osoby maja urodziny tego samego dnia, przy losowym wyborze trzech osob jest inne niz przy wyborze dwoch osob:

P(BXY) = P(BXZ)=P(BYZ) = \(\displaystyle{ \frac{365\cdot 1\cdot 364}{365^3} = \frac{364}{365^2}}\) a nie 1/365

ZAD 5:
Losujemy 5 elementow sposrod 52, nie jest wazna kolejnosc - zdarzen elementarnych jest \(\displaystyle{ {52\choose 5} = 2598960}\)
A - dostaniemy dokladnie jedna pare, czyli sposrod 13 wartosci wybieramy jedna, nastepnie 2 karty sposrod 4 o tej wartosci, pozostale 3 karty wybieramy juz na pewno innej wartosci - sposrod pozostalych 48 kart.
|A|= \(\displaystyle{ {13\choose 1}\cdot {4\choose 2}\cdot{48\choose3}}\)
P(A)= \(\displaystyle{ \frac{1349088}{2598960}= 0,519087635...}\)

b)
B- otrzymamy trojke liczymy analogicznie P(B)= \(\displaystyle{ \frac{843180}{2598960}= 0,324429772...}\)

C- otrzymamy dwie pary
Podobnie, tylko jeszcze uwzgledniamy druga wartosc:
|C|= \(\displaystyle{ {13\choose 2}\cdot {4\choose 2}\cdot{4\choose 2}\cdot{44\choose 1}}\)
P(C)= \(\displaystyle{ \frac{123552}{270725} = 0,45637455...}\)

Wieksze szanse sa na dwie pary...

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 11 lut 2005, o 09:09

Yavien: Nie mam chwilowo czasu, żeby wgłębiać się w to zadanie, ale coś mi nie pasuje....

Yavienka pisze:P(C)= 14,3092437...

Nieprawdaż?:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Yavien · Post autor: **Yavien** » 11 lut 2005, o 12:23

Jasne, juz poprawilam (tak to jest, gdy sie pisze przez ctrl+c, ctrl+v ), przy okazji znalazlam istotny blad, teraz powinno byc juz dobrze.

Margaretta · Post autor: **Margaretta** » 12 lut 2005, o 20:37

Dzięki Wam za rozwiązania, =)

pozdrawiam =)