Rozkład Poissona i normalny - kłopotliwa zbieżność

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ (X_{n})_{n=1}^{\infty}}\) będzie rodziną zmiennych losowych o rozkładzie Poissona \(\displaystyle{ X_{n}\sim Poi(n)}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ X_{n} \rightarrow \mathcal{N}(0,1)}\)
(gdzie ta strzałka oznacza zbieżność wg rozkładu).

No to ja do tego podszedłem od strony punktowej zbieżności ciągu dystrybuant, ale w efekcie dostałem w twarz taką granicą:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{0 \le k \le \lfloor t\sqrt{n}+n\rfloor}^{} e^{-n} \frac{n^{k}}{k!}}\)
i niestety nie urodziłem się ze zdolnościami pozwalającymi sprawnie coś takiego liczyć, a żadnego twierdzenia nie udało mi się dopasować (na oko tw. Stolza wiele tutaj nie da).

Zauważyłem, że podobne zadanko (tj. trzeba pokazać, że powyższa granica to \(\displaystyle{ \Phi(t)}\)) jest na liście z CTG, co sugerowałoby, że jakoś to należy powiązać z rzeczonym twierdzeniem (a może z jakimś lemacikiem wykorzystywanym w dowodzie tegoż), ale ja nie wiem jak.
Proszę o wskazówki, a jak ktoś nie ma ochoty użerać się z takim bezmózgowiem, jak ja, to gotowym rozwiązaniem też nie pogardzę.
Pozdrawiam.

-- 23 cze 2015, o 01:18 --

Matko boska, przecież to jest debilizm, dziwne, że nikt nie zjechał, powinno być
\(\displaystyle{ \frac{X_{n}-n}{ \sqrt{n} } \rightarrow \mathcal{N}(0,1)}\)
Przepraszam.

-- 23 cze 2015, o 16:47 --

Dobra, to jest proste, tylko ja jestem [ciach] i nie umiem myśleć, poznałem już rozwiązanie na konsultacjach, tak że można temat wywalić. Gdyby kogoś interesowało rozwiązanie (chociaż pewnie prawie każdy, kto zajrzał, rozwiązał to w pamięci), to \(\displaystyle{ X_{n}}\) ma taki sam rozkład, jak suma n niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie \(\displaystyle{ Poi(1)}\) i wystarczy zastosować CTG.