niezależność zmiennych losowych, funkcje borelowskie

[Grono]

Witam
Mam problem z pewnym zadankiem i szukam chociażby podpowiedzi jak się do tego zabrać a mianowicie
Udowodnij, że jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne a \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami borelowsko mierzalnymi, to zmienne losowe \(\displaystyle{ f(X)}\) i \(\displaystyle{ g(Y)}\) są niezależne.

[bartek118]

\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( (f(X), g(Y)) \in A \times B \right) = \mathbb{P} \left( (X,Y) \in f^{-1}(A) \times g^{-1}(B) \right) = \mathbb{P} \left( X \in f^{-1}(A) \right) \cdot \mathbb{P} \left( Y \in g^{-1}(A) \right) = \mathbb{P}(f(X) \in A) \cdot \mathbb{P}(g(X) \in B)}\)