Kto by mi pomógł rozwiązać takie dwa zadanka ?
1. Z urny, w której znajduje się 20 kul białych i 2 kule czarne losuje się kolejno n kul. Znaleźć najmniejszą liczbę losowań n taką, przy której prawdopodobieństwo wylosowania chociaż raz czarnej kuli jest większe od 0,5, zakładając, że:
a) po każdym losowaniu kulę kładzie się z powrotem do urny b) nie kładzie się z powrotem do urny
2. Z tali 52 kart losujemy 7 kart bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) dokładnie trzy karty będą pikami b) co najmniej dwie karty będą kierami c) co najwyżej pięć kart będzie treflami d) dwie karty będą kierami, trzy treflami, jedna karo, i jedna pik
Zadanie z urną i talią kart
- Plant
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
- Pomógł: 70 razy
Zadanie z urną i talią kart
Edit na prośbę Radom_iaka.
2. W każdym przypadku ilość możliwości losowania wynosi \(\displaystyle{ {52\choose 7}}\) - 7 kart wybranych z 52.
a) Wybieramy 3 z 13 pików, pozostałe 4 karty innego koloru (z póli 39 kart):
\(\displaystyle{ P(a)=\frac{{13\choose 3}{39\choose 4}}{{52\choose 7}}}\)
b) Conajmniej 2, czyli 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub 6 lub 7. W tym przypadku dodaje się prawdopodobieństwa.
\(\displaystyle{ P(b)=\frac{{13\choose 2}{39\choose 5}+{13\choose 3}{39\choose 4}+{13\choose 4}{39\choose 3}+{13\choose 5}{39\choose 2}+{13\choose 6}{39\choose 1}+{13\choose 7}{39\choose 0}}{{52\choose 7}}}\)
c) Co najwyżej 5, czyli 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5. Również dodajemy.
\(\displaystyle{ P(c)=\frac{{13\choose 0}{39\choose 7}+{13\choose 1}{39\choose 6}+{13\choose 2}{39\choose 5}+{13\choose 3}{39\choose 4}+{13\choose 5}{39\choose 2}}{{52\choose 7}}}\)
d) Muszą występować wszystkie podane warunki, czyli zachodzi koniunkcja, należy mnożyć poszczególne prawdopodobieństwa.
\(\displaystyle{ P(d)=\frac{{13\choose 2}{13\choose 3}{13\choose 1}{13\choose 1}}{{52\choose 7}}}\)
2. W każdym przypadku ilość możliwości losowania wynosi \(\displaystyle{ {52\choose 7}}\) - 7 kart wybranych z 52.
a) Wybieramy 3 z 13 pików, pozostałe 4 karty innego koloru (z póli 39 kart):
\(\displaystyle{ P(a)=\frac{{13\choose 3}{39\choose 4}}{{52\choose 7}}}\)
b) Conajmniej 2, czyli 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub 6 lub 7. W tym przypadku dodaje się prawdopodobieństwa.
\(\displaystyle{ P(b)=\frac{{13\choose 2}{39\choose 5}+{13\choose 3}{39\choose 4}+{13\choose 4}{39\choose 3}+{13\choose 5}{39\choose 2}+{13\choose 6}{39\choose 1}+{13\choose 7}{39\choose 0}}{{52\choose 7}}}\)
c) Co najwyżej 5, czyli 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5. Również dodajemy.
\(\displaystyle{ P(c)=\frac{{13\choose 0}{39\choose 7}+{13\choose 1}{39\choose 6}+{13\choose 2}{39\choose 5}+{13\choose 3}{39\choose 4}+{13\choose 5}{39\choose 2}}{{52\choose 7}}}\)
d) Muszą występować wszystkie podane warunki, czyli zachodzi koniunkcja, należy mnożyć poszczególne prawdopodobieństwa.
\(\displaystyle{ P(d)=\frac{{13\choose 2}{13\choose 3}{13\choose 1}{13\choose 1}}{{52\choose 7}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Zadanie z urną i talią kart
Ad 1
a) \(\displaystyle{ P(A')=(\frac{20}{22})^n}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1-(\frac{20}{22})^n>\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>(\frac{10}{11})^n}\)
\(\displaystyle{ n_{min}=8}\)
b) \(\displaystyle{ P(A')=\frac{C^n_{20}}{C^n_{22}}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{\frac{20!}{n!(20-n)!}}{\frac{22!}{n!(22-n)!}}=1-\frac{(22-n)(21-n)}{21\cdot 22}>\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>\frac{(22-n)(21-n)}{21\cdot 22}\\
21\cdot 11>(22-n)(21-n)\\
16\cdot 15>21\cdot 11>15\cdot 14\\
n_{min}=7}\)
a) \(\displaystyle{ P(A')=(\frac{20}{22})^n}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1-(\frac{20}{22})^n>\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>(\frac{10}{11})^n}\)
\(\displaystyle{ n_{min}=8}\)
b) \(\displaystyle{ P(A')=\frac{C^n_{20}}{C^n_{22}}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{\frac{20!}{n!(20-n)!}}{\frac{22!}{n!(22-n)!}}=1-\frac{(22-n)(21-n)}{21\cdot 22}>\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>\frac{(22-n)(21-n)}{21\cdot 22}\\
21\cdot 11>(22-n)(21-n)\\
16\cdot 15>21\cdot 11>15\cdot 14\\
n_{min}=7}\)