równe wartości momentów

[Yelon]

Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o tej własności, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) wartości momentów są stałe i równe \(\displaystyle{ \mathbb{E}X ^{n}=p \in (0,1)}\), to \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy Bernoullego.

Jedyna wskazówka jaką dostałem (choć skorzystać nie umiem) to: \(\displaystyle{ \phi _{X}(t)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i ^{n}EX ^{n}t ^{n}}{n!}}\).

[Premislav]

Ja też w tej chwili nie widzę, jak skorzystać z tej wskazówki (bo późno jest), ale mam inną:
mamy \(\displaystyle{ (-i)^{n}\phi_{X}'(0)=\mathbb{E}X^{n}}\) (ten prim oznacza pochodną po \(\displaystyle{ t}\)).

[Yelon]

pochodna (ten prim) nie powinna być rzędu-\(\displaystyle{ n}\)?

[Premislav]

Tak! Dobrze, że jesteś czujny, przepraszam za ten błąd.

[Yelon]

czujny może, ale nie wiem co z tym zrobić niestety. Widzę ze prawa strona jest równa \(\displaystyle{ p}\), ale jak z tego dojść do funkcji charakterystycznej dwupunktowego? bo rozumiem, że po to jej używamy?

[Premislav]

Ech, tak to jest, jak się szybciej pisze niż myśli (mam tu na myśli siebie, nie Ciebie).
Z tej "wskazówki", którą zamieściłem, mamy, ze \(\displaystyle{ \phi^{(n)}_{X}(0)=pi^{n}}\) dla każdego n całkowitego dodatniego i jest dość jasnym, że dla dowolnego stałego \(\displaystyle{ C}\) warunek ten spełnia \(\displaystyle{ f(t)=pe^{it}+C}\), czyli w szczególności, dla \(\displaystyle{ C=1-p}\), funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie dwupunktowym \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=0)=1-p, \mathbb{P}(Y=1)=p}\), ale w tę stronę to raczej nie pójdzie (bo nie widzę łatwego sposobu, by pokazac, że żadna inna funkcja charakterystyczna tego nie spełnia), to tylko heureza. Przepraszam, zadziałałem intuicyjnie i mogłem zmarnować Twój czas.

Wróćmyż zatem do wskazówki, którą dostałeś od kogoś mądrzejszego/wyczytałeś gdzie indziej:
mamy, że \(\displaystyle{ \phi_{X}(t)= p\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(it)^{n}}{n!}+1-p}\) (zdanie wyjaśnionka: \(\displaystyle{ EX^{0}=E1=1}\), stad żeby się tak dało wyłączyć przed szereg to \(\displaystyle{ p}\) i dalej się zgadzało, rozpisałem jedynkę, czyli pierwszy wyraz, na \(\displaystyle{ p+(1-p)}\)). Umiesz zsumować ten szereg (wsk. funkcja eksponencjalna)?

[Yelon]

tym \(\displaystyle{ \phi _{X}(t)=p \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(it) ^{n}}{n!} + 1 - p}\) już w sumie rozwiązałeś zadanie

wystarczy za sumę podstawić \(\displaystyle{ p \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(it) ^{n}}{n!}=pe ^{it}}\) i chyba mamy wszystko.