Mocne prawo wielkich liczb?

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 11 cze 2015, o 15:26

Ciąg \(\displaystyle{ X_n}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1-2^{-n}\right]}\). Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{X_1+...+X_n}{n}}\) jest zbieżny prawie na pewno i wyznaczyć jego granicę.

Próbowałam jakoś 'ujednolicić' rozkłady tych zmiennych, tzn wziąć \(\displaystyle{ Y_n= \sqrt[n]{X_n+2^{-n}}}\) o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2},1 \right]}\) ale chyba jednak nie do końca wiem jak się do tego zadania zabrać.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 11 cze 2015, o 22:02

Ech, rzygam już funkcjami pupolitycznymi (cóż, nie potrafię się z nimi zespolić), więc dla odmiany sobie spojrzę.
Moja sugestia: jeżeli \(\displaystyle{ (X_{n})_{n}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{Var X_{n}}{n^{2}}}\) jest zbieżny, to tenże ciąg spełnia założenia MPWL (patrz np. Jakubowski, Sztencel, rozdział 7.4 - w wydaniu IV jest to na str. 166.).
Umiesz policzyć \(\displaystyle{ Var X_{n}}\)?

Ty zdaje się próbowałaś tak to przekształcić, żeby zastosować MPWL Kołmogorowa (tak rozumiem próbę
"ujednolicenia"), ale tak to chyba nie pójdzie.-- 11 cze 2015, o 22:34 --Przepraszam wielbicieli analizy zespolonej, po prostu ja się do takowych nie zaliczam.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 12 cze 2015, o 04:41

\(\displaystyle{ VarX_n= \frac{\left( 1-2^{-n}\right)^2 }{12}}\) więc ten szereg jest oczywiście zbieżny.
Tak z ciekawości. Robiąc moim 'sposobem' doszłam do wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{Y_1+Y_2^2+...+Y_n^n}{n}- \frac{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} }{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ Y_n}\) są iid a druga część wyrażenia dąży do \(\displaystyle{ 0}\). Czy da się jakoś sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac{Y_1+Y_2^2+...+Y_n^n}{n}}\) jest zbieżny? (podobne zad. 7 na )

A jak wyznaczyć tą granicę?

Marynarz94 · Post autor: **Marynarz94** » 13 cze 2015, o 18:05

Skoro spełnia MPWL, to granica ta będzie równa \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}EX_{k}}\)....

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 13 cze 2015, o 19:08

czyli po prostu \(\displaystyle{ 0}\)?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 13 cze 2015, o 19:22

Uważasz, że zmienna \(\displaystyle{ X \ge 0}\) o ciągłym rozkładzie ma wartość oczekiwaną zero? Intrygujące.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 13 cze 2015, o 19:36

ojej miałam napisać \(\displaystyle{ 1}\), chociaż sama się zastanawiam czy to poprawne

Marynarz94 · Post autor: **Marynarz94** » 13 cze 2015, o 19:52

A rozpisywałaś tę granicę? Trzeba ją po prostu policzyć...

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 13 cze 2015, o 20:57

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} EX_k= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1-2^{-k}}{2}= \frac{1}{2n} \left( \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \right) \rightarrow \frac{1}{2}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

Marynarz94 · Post autor: **Marynarz94** » 13 cze 2015, o 22:10

No tak

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 13 cze 2015, o 22:52

dziękuję

musialmi · Post autor: **musialmi** » 14 cze 2015, o 07:37

Na jakiej podstawie ta granica to tyle?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 07:49

Na takiej, że jeżeli ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) dąży do \(\displaystyle{ x}\), to ciąg średnich arytmetycznych też tam dąży. To proste twierdzenie z czystej analizy, nie mające wiele wspólnego z rachunkiem, jak mi się wydaje. A jeszcze inaczej:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{n 2^k} \le \frac 1 n \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} = \frac 2 n}\).

musialmi · Post autor: **musialmi** » 14 cze 2015, o 08:48

A co z \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} \sum^n 1}\)?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 14 cze 2015, o 09:19

Suma \(\displaystyle{ n}\) jedynek to \(\displaystyle{ n}\), więc po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2n}\)...