Całka po prawdopodobieństwie

[musialmi]

Dlaczego dla \(\displaystyle{ f}\) rosnącej, różniczkowalnej i \(\displaystyle{ f(0)=0}\) (pewnie żaden z tych faktów nie ma znaczenia) i nieujemnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) możemy napisać \(\displaystyle{ \int f(X) \, dP=\int_0^\infty P(f(X)\geq t) \, dt}\)?

Gdyby \(\displaystyle{ X}\) przyjmowała tylko przeliczalną ilość wartości, to \(\displaystyle{ \int f(X) \, dP=\sum_{i \in I} f(i)\cdot P(X=i)}\), ale \(\displaystyle{ \neq \sum_{i \in I} f(i)\cdot P(X \geq i)}\), więc dlaczego przy nieprzeliczalnej liczbie wartości to jest okej?

[Premislav]

A znasz/umiesz znaleźć dowód, że dla nieujemnej, całkowalnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
jest \(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}(X \ge t)\mbox{d}t}\)??
(jest w Jakubowskim i Sztenclu w rozdziale 5.6 bodajże, strony z pamięci nie podam, poza tym może zależeć od wydania). Mogłoby pomóc.
Jedziemy tu od prawej strony twierdzeniem Fubiniego, miarą produktową będzie produkt miary probabilistycznej i miary Lebesgue'a na prostej.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \mathbb{P}(f(X) \ge t)\mbox{d}t= \int_{0}^{ \infty }\left( \int_{\Omega}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}\left\{f(X) \ge t \right}\mbox{d}\mathbb{P} \right) dt}\)
no i teraz tw. Fubiniego, ale mnie się już oczy zamykają.
BTW Źle pan przepisałeś prawą stronę w terminach prawdopodobieństwa dyskretnego, o ile widzę.
BTW 2 nie umiem domknąć klamry, ale ze mnie ...
BTW 3

pewnie żaden z tych faktów nie ma znaczenia

Każdy ma znaczenie.

[musialmi]

A, dobra... A ja myślałem, że to jakieś przejście wynikające z definicji bezpośrednio.

A znasz/umiesz znaleźć dowód, że dla nieujemnej, całkowalnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
jest \(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}(X \ge t)\mbox{d}t}\)?

Zadanie wyżej nad tym, które cytuję, haha

BTW 3

pewnie żaden z tych faktów nie ma znaczenia

Każdy ma znaczenie.

A to dyskretne to rzeczywiście źle, powinno być \(\displaystyle{ P(f(X)=i)}\).