Prawdopodobieństwo - winda

[noctum]

Do windy 4-piętrowego bloku wsiadaja 12 osob. Oblicz prawdopodobieństwo, ze:

a)na kazdym z pieter wysiądzie taka sama liczba osob
b)dokładnie 2 piętra będą puste

\(\displaystyle{ \Omega = 12^{4}}\)

Jak zacząć?

-- 11 cze 2015, o 13:47 --

sprobowałem a) rozwizac i oto co mi wyszlo:

a)\(\displaystyle{ \Omega=4^{12} =16777216}\)
\(\displaystyle{ |A|= \frac{12!}{4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!}=1663200}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{|A|}{|Omega|} \approx 0,1}\)


b) robiac analogicznie wychodzi mi \(\displaystyle{ 0,2}\)
za \(\displaystyle{ |A|}\) przyjmuje
\(\displaystyle{ |A|= \frac{12!}{4! \cdot 3!}}\)

moze ktos to sprawdzic?

-- 12 cze 2015, o 11:07 --

ktos pomoze? zalezy mi na szybkiej odpowiedzi

[Premislav]

Jeżeliś dobrze napisał treść, to w (a) odpowiedzią jest zero - mamy dwanaście pięter, czterech typów/typiar i nową wersję kawału z puentą "się przecież nie rozerwę". Natomiast część Twojego rozwiązania sugeruje, że jednak chodzi o \(\displaystyle{ 12}\) osób i \(\displaystyle{ 4}\) piętra.
W takim wypadku (tj. \(\displaystyle{ 12}\) osób, \(\displaystyle{ 4}\) piętra) masz niepoprawnie policzoną moc omegi:
każda osoba ma do wyboru \(\displaystyle{ 4}\) piętra, na których może wysiąść: no to masz \(\displaystyle{ 4^{12}}\)
możliwości przydziałów ludzi do pięter, na których wysiadają.
No i moim zdaniem w pierwszym masz dobrze wyznaczoną \(\displaystyle{ \left| A\right|}\), natomiast w drugim nie rozumiem Twojego rozwiązania - mógłbyś wytłumaczyć, jak w (b) wyznaczasz moc zbioru zdarzeń sprzyjających? Ja to widziałem tak: na \(\displaystyle{ {4\choose 2}=6}\) sposobów wybieramy pintra, na których nikt nie wysiądzie, a \(\displaystyle{ 12}\) ludzi, mających do wyboru \(\displaystyle{ 2}\) pozostałe piętra, może wysiąść na \(\displaystyle{ 2^{12}}\) sposobów (przyjmując rozróżnialność ludzi). No to odpowiedzią w b(b) wydaje się być \(\displaystyle{ \frac{6\cdot 2^{12}}{4^{12}}}\) (mało...). Ale to jest BŁĘDNE (właśnie się zorientowałem...), bo zauważ, że liczę w ten sposób też taką sytuację, gdy wszyscy wysiądą na jednym piętrze, czyli bzdurissimo.

A można się uprzeć i zrobić tak ten podpunkt (b):
rozpatrzmy zdarzenia \(\displaystyle{ B}\): na co najmniej dwóch piętrach nikt nie wysiądzie i \(\displaystyle{ C}\): na co najmniej trzech piętrach nikt nie wysiądzie. Zauważmy, że zdarzenie "na dokładnie dwóch piętrach nikt nie wysiądzie" to jest \(\displaystyle{ B\setminus C}\), no i mamy taką fajną własność, że gdy\(\displaystyle{ C \subset B}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B\setminus C)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(C)}\)
No to właśnie wyżej policzyłem prawdopodobieństwo, że na co najmniej dwóch piętrach nikt nie wysiądzie, tj.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(B)= \frac{6\cdot 2^{12}}{4^{12}}}\),
a oczywiście p-stwo, że na co najmniej trzech piętrach nikt nie wysiądzie wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{4^{12}}= \frac{1}{4^{11}}}\), bo wybierasz na {4 choose 3} sposoby te trzy piętra, które maja być puste, a cała reszta wysiada na tym, które "zostaje".
Odejmujesz i masz.

[noctum]

Wybacz ale poprawiłem już dawno treść zadania, w którym zrobiłem bład

Poprawne zadanie to:

Do windy 4-piętrowego bloku wsiada 12 osob. Oblicz prawdopodobieństwo, ze:
a)na kazdym z pieter wysiądzie taka sama liczba osob
b)dokładnie 2 piętra będą puste

moglbys mi sprawdzic?

[Premislav]

(a) dobrze, (b) wygląda dziwnie i nie rozumiem, w jaki sposób liczyłeś \(\displaystyle{ \left| A\right|}\)

[noctum]

dzieki, a w jakis sposob b) moge obliczyc?

[Premislav]

Przecież to napisałem.

A można się uprzeć i zrobić tak ten podpunkt (b):
rozpatrzmy zdarzenia \(\displaystyle{ B}\): na co najmniej dwóch piętrach nikt nie wysiądzie i \(\displaystyle{ C}\): na co najmniej trzech piętrach nikt nie wysiądzie. Zauważmy, że zdarzenie "na dokładnie dwóch piętrach nikt nie wysiądzie" to jest \(\displaystyle{ B\setminus C}\), no i mamy taką fajną własność, że gdy \(\displaystyle{ C \subset B}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B\setminus C)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(C)}\)
No to właśnie wyżej policzyłem prawdopodobieństwo, że na co najmniej dwóch piętrach nikt nie wysiądzie, tj.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(B)= \frac{6\cdot 2^{12}}{4^{12}}}\),
a oczywiście p-stwo, że na co najmniej trzech piętrach nikt nie wysiądzie wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{4^{12}}= \frac{1}{4^{11}}}\), bo wybierasz na \(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\) sposoby te trzy piętra, które maja być puste, a cała reszta wysiada na tym, które "zostaje".
Odejmujesz i masz.