zbieżność szeregu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

zbieżność szeregu

Post autor: princess691 »

\(\displaystyle{ X_n}\) - ciąg niezależnych i nieujemnych zmiennych losowych. Wykazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } X_n}\) jest zbieżny prawie na pewno \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbb{E}( \frac{X_n}{1+X_n} )< \infty}\)

-- 10 cze 2015, o 19:23 --

może chociaż jakieś wskazówki jak to ugryźć?-- 13 cze 2015, o 08:10 --w jedna stronę próbowałam z nierówności Markowa, tzn załóżmy, że szereg wartości oczekiwanych jest zbieżny wtedy \(\displaystyle{ \forall \epsilon >0}\) mamy, że \(\displaystyle{ \infty > \frac{ \mathbb{E}( \frac{X_n}{1+X_n} ) }{\epsilon} \ge \mathbb{P}\left( \frac{X_n}{1+X_n} \ge \epsilon\right) = \mathbb{P}\left( X_n \ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon} \right)}\)
Więc biorąc \(\displaystyle{ c=\frac{\epsilon}{1-\epsilon}}\) mamy zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } X_n}\) z twierdzenia o trzech szeregach Kołmogorowa
ODPOWIEDZ