Zbieżność ciągu zm. losowych

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 10 cze 2015, o 12:45

\(\displaystyle{ X_n}\) ciąg zmiennych losowych o rozkładach \(\displaystyle{ P[X_n=1]=1- \frac{1}{n}, \ P[X_n=0]=\frac{1}{n}}\).
\(\displaystyle{ X}\) - zmienna losowa. Niech \(\displaystyle{ Y_n=X \cdot X_n}\). Czy ciąg \(\displaystyle{ Y_n}\) jest zbieżny prawie na pewno? według prawdopodobieństwa?

-- 10 cze 2015, o 20:05 --

pomoże ktoś? -- 11 cze 2015, o 15:28 --Może jednak ktoś pomoże to ruszyć?
Czy wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ X_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) prawie na pewno a stąd wynika że \(\displaystyle{ Y_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ X}\)

Marynarz94 · Post autor: **Marynarz94** » 14 cze 2015, o 18:00

W ogólności \(\displaystyle{ (X_{n})}\) wcale nie musi zbiegać do 1 :/.-- 14 cze 2015, o 17:01 --Zastanów się co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ (X_n)}\) są niezależne

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 14 cze 2015, o 18:45

Jej nie mam pojęcia

Alef · Post autor: **Alef** » 14 cze 2015, o 22:39

Wskazówka: Załóż, że zmienne \(\displaystyle{ X_{n}}\) są niezależne i skorzystaj z drugiego lematu Borela-Cantellego.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 15 cze 2015, o 06:33

Wtedy suma prawdopodobieństw \(\displaystyle{ X_n}\) jest nieskończona i
\(\displaystyle{ P(limsupX_n)=1}\)

Alef · Post autor: **Alef** » 15 cze 2015, o 08:36

Masz dwa rodzaje zdarzeń. Pierwszy rodzaj to taki, że \(\displaystyle{ X_{n}(\omega)=1}\), a drugi taki, że \(\displaystyle{ X_{n}(\omega)=0}\). Kombinuj dalej.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 15 cze 2015, o 09:20

Juz kombinuje nad tym zadaniem tydzień i mam wrażenie ze coraz mniej umiem.
Nie wiem jak z tego skorzystać

Alef · Post autor: **Alef** » 15 cze 2015, o 10:28

alla2012 pisze:Wtedy suma prawdopodobieństw \(\displaystyle{ X_n}\) jest nieskończona

Nieprawda. Tego nie mówi drugi lemat Borela-Cantellego.

alla2012 pisze:\(\displaystyle{ P(limsupX_n)=1}\)

A co to znaczy?

1. Załóż, że Twoje zmienne losowe są niezależne.
2. Sprawdź założenia drugiego lematu Borela-Cantellego.
3. Wyciągnij wniosek, że skoro \(\displaystyle{ P(X_{n}=1 - \text{nieskończenie wiele razy})=1}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_{n}=0 - \text{nieskończenie wiele razy})=1}\), to

EDIT: wówczas nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P\left( \left\{ \omega\colon\lim_{n\to+\infty}X_{n}(\omega)=1\right\} \right) =1}\)

Tak jak napisał Marynarz94, skoro w ciągu mamy nieskończenie wiele jedynek i nieskończenie wiele zer, to nie może być on zbieżny do 1.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 15 cze 2015, o 12:37

Teraz wydaje się to jaśniejsze. Ja próbowałam to robić z twierdzenia ze jeśli \(\displaystyle{ \sum P(|X_n-X|)>\epsilon}\) zbieżny to \(\displaystyle{ X_n \rightarrow X}\).
Ale to chyba na jedno wyjdzie bo to twierdzenie sie z borela cantelli dowodzi.
A co dla tych zaleznych?

Marynarz94 · Post autor: **Marynarz94** » 15 cze 2015, o 13:46

Alef pisze: 3. Wyciągnij wniosek, że skoro \(\displaystyle{ P(X_{n}=1 - \text{nieskończenie wiele razy})=1}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_{n}=0 - \text{nieskończenie wiele razy})=1}\), to wówczas \(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty}X_{n}=1}\) z prawdopodobieństwem 1. Zatem wówczas \(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty}Y_{n}=X}\) prawie na pewno.

Serio? Jeśli w ciągu mamy nieskończenie wiele jedynek i nieskończenie wiele zera, to jest on zbieżny do 1?-- 15 cze 2015, o 12:49 --W takim razie ciekawe, co robi w nim podciąg zbieżny do 0... :/

Alef · Post autor: **Alef** » 15 cze 2015, o 15:37

Sorry, rzeczywiście namieszałem! Edytowane.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 15 cze 2015, o 16:16

Czyli wróciliśmy do poczatku

Alef · Post autor: **Alef** » 15 cze 2015, o 16:20

Dlaczego? Przecież masz dowód, że nie ma zbieżności prawie na pewno.

alla2012 · Post autor: **alla2012** » 15 cze 2015, o 20:28

Ah no tak głupia ja. Juz za długo nad tym myślę że sama do końca polecenia nie potrafię przeczytać ☺dzięki-- 15 cze 2015, o 21:00 --a co z tymi zależnymi zmiennymi?