Centralne twierdzenie graniczne /

[L1ke]

Uważaj, że co trzeci mężczyzna jest brunetem, oszacuj prawdopodobieństwo że wsród 6540 mężczyzn jest od 1500 do 2100 brunetów, Proszę o pomoc Czyli \(\displaystyle{ P=\frac{1}{3}}\) w ogóle nie wiem jak to robić

[Premislav]

Bardzo mi się nie podoba słowo "uważaj" w tym kontekście, optowałbym za "przyjmij" (no cóż, taki ze mnie chómanista). Ale do rzeczy:
rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_{n})_{n \in \NN^{+}}}\) o wspólnym rozkładzie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\delta_{1}+ \frac{2}{3}\delta_{0}}\) - przyjmuję, że \(\displaystyle{ X_{k}=1}\) gdy k-ty mężczyzna jest brunetem, a w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ X_{k}=0}\).
Rozpatrujemy \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(1500 \le \sum_{k=1}^{6540}X_{k} \le 2100 \right)}\)
no i teraz normujemy to tak, by zmienna losowa \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{6540}X_{k}}\) miała wartość oczekiwaną zero i wariancję jeden, tj. odejmujemy \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^{6540}X_{k}\right)=6540\mathbb{E}(X_{1})}\) i dzielimy przez \(\displaystyle{ \sqrt{Var\left(\sum_{k=1}^{6540}X_{k}\right)}= \sqrt{6540 Var X_{1}}}\) - w tych równościach skorzystałem z liniowosci wartości oczekiwanej, z tego, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{k}}\) są niezależne (a więc \(\displaystyle{ cov(X_{j}, X_{k})=0 \mbox{ dla } k\neq j}\)) i mają wspólny rozkład.
Tj. mamy\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(1500 \le \sum_{k=1}^{6540}X_{k} \le 2100 \right)=\mathbb{P}\left( \frac{1500-6540\mathbb{E} X_{1}}{ \sqrt{6540Var X_{1}} } \le \frac{ \sum_{k=1}^{6540}X_{k}-6540\mathbb{E} X_{1} }{ \sqrt{6540Var X_{1}} } \le \frac{2100-6540\mathbb{E} X_{1}}{ \sqrt{6540Var X_{1}} } \right)}\)
to tylko wygląda nieprzyjemnie, a jest rezultatem elementarnych przekształceń.
Teraz Twoje zadanie:
1. Wyliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{1}}\)
2. Wyliczyć \(\displaystyle{ Var X_{1}}\)
3. Wstawić powyższe wartości do dolnego i górnego "ograniczenia", powołać się na CTG i skorzystać z tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
No i jeszcze się przyda to, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(a \le X \le b)=F_{X}(b)-F_{X}(a^{-})}\), o ile tylko \(\displaystyle{ a<b}\).

[L1ke]

Bardzo dziękuję C:

[Wielka Torba]

Premislav, mam prawdopodobnie takie same zadanie: Co ósmy student jest rudy jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie 562 studentów jest nie więcej 60 rudych ? i do obliczenia mam zastosować aproksymacje rozkładem normalnym, czy móglby pomoc z tym ? czy jest ono podobne czy jakoś inaczej go rozwiązywać ? Jutro mam testy i nie wiem co z tym zadanie robić =(

[p-adyczny Leo]

Definiujesz niezależne \(\displaystyle{ X_i = 1}\), jeśli \(\displaystyle{ i}\)-ty student jest rudy, \(\displaystyle{ 0}\), jeśli nie. Interesuje Cię \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{562} X_i}\), znormalizuj (średnia sumy ma być zero, wariancja jeden).