Jak uzasadnić nierówność:
\(\displaystyle{ ||(P^nf-h)^-|| \leq ||(P^nf-h_1)^-|| + ||(P^nf-h_2)^-||}\),
gdzie \(\displaystyle{ h_1,h_2}\) są funkcjami dolnymi dla operatora Markowa P i \(\displaystyle{ h= \max{\{h_1,h_2\}}}\)?
Definicja: \(\displaystyle{ h \in L_1}\) jest funkcją dolną dla operatora Markowa P, jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ||(P^nf-h)^-|| = 0}\) dla \(\displaystyle{ f \in D}\) (zbiór gęstości).
Mam pewne własności, które próbuję zastosować:
\(\displaystyle{ (f+g)^- \leq f^-+g^-}\)
\(\displaystyle{ (-f)^- = f^+}\)
\(\displaystyle{ (\max{f,g})^+ \leq (f+g)^+}\),
ale zaczynając np tak:
\(\displaystyle{ ||(P^nf-h)^-|| \leq ||(P^nf)^-+(-h)^-|| = ||(P^nf)^-+(h)^+|| \leq}\)
\(\displaystyle{ \leq||(P^nf)^-+(h_1+h_2)^+ = ||(P^nf)^-+(-(h_1+h_2)^-) \leq}\)
\(\displaystyle{ \leq||(P^nf)^-+-(h_1)^-+(-h_2)^-||}\) =
nie wiem jak dostać "podwojone" \(\displaystyle{ P^nf}\), żeby skorzystać z nierówności trójkąta.
Ma ktoś jakiś pomysł, jak to rozwiązać? Proszę o pomoc.