Zbieżność według prawdopodobieństwa

[piotr2]

Na ćwiczeniach było zadanie (jako część większego) pokazać, że ciąg iid zmiennych losowych zbiega według prawdopodobieństwa do 0. Na tablicy pojawiło się takie oto rozwiązanie, według mnie niepoprawne i chciałbym to potwierdzić. A rozwiązanie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ P(X_n=0)=q^n,\ q\in (0;1)}\) to łatwo wynikało z treści zadania i teraz część do której nie jestem przekonany:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}P(X_n=0)=0 \Rightarrow X_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) według prawdopodobieństwa.

[Premislav]

Ej, kierwa, może głupi jestem, ale skoro \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=0)=q^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q\in (0;1)}\), to te zmienne wcale nie są iid, bo nie mają id.

Już nie wspominając o tym, że ta implikacja niżej jest do niczego.

[piotr2]

Tak, rzeczywiście masz rację, nie mają tego samego rozkładu, coś przekręciłem, ale w tym przypadku to bez znaczenia raczej. Główną ideą pytania była implikacja po przejściu granicznym.

[Premislav]

No to OK, pokażę, dlaczego uważam tę implikację za bzdurę:

rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych z rozkładami dwupunktowymi:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=0)=q^{n}, \mathbb{P}(X_{n}=1)=1-q^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\). Istotnie mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(X_{n}=0)=0}\), lecz
rozpatrując \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2}}\) widzimy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}\left(\left| X_{n}\right| \ge \frac{1}{2}\right) =1}\), co przeczy zbieżności wg prawdopodobieństwa do zera.

Czyli albo coś źle przepisane, albo tam były jakieś dziwaczne dodatkowe warunki, albo po prostu koszmarny błąd w rozumowaniu.
PS Walone nawiasy, niech mnie one cmokną w niewymowne części.

[piotr2]

Oj, późno już i się fatalnie pomyliłem. Tam miało być \(\displaystyle{ P(X_n=0)=1-q^n}\), ale nadal wydaję mi się, że to jest źle, gdyż przy zbieżności prawie na pewno powinniśmy mieć \(\displaystyle{ P(\lim ...)}\), prawda?

[Premislav]

Noo, to bardzo zmienia postać rzeczy. I w takim wypadku (bo mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(X_{n}=0)=1}\)) to już będzie działało (jeśli było napisane \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(X_{n}=0)=0}\), to można domniemywać, ze to cyfrówka i miało być jeden):

ogólnie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\matbb{P}(X_{n}=X)=1}\) wynika, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_{n})_{n \in \NN}}\) zbiega wg prawdopodobieństwa do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Dowód: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=X)=\mathbb{P}(X_{n}-X=0)=\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)}\).
Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right| \ge \epsilon)=\lim_{n \to \infty }1-\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1- \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )}\). Gdyby nie było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1}\), to równoważnie istniałby taki podciąg \(\displaystyle{ (n_{k})_{k \in \NN}}\) indeksów rozbieżny do nieskończoności i takie \(\displaystyle{ q>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) byłoby \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left| X_{n_{k}}-X\right| \ge \epsilon) \ge q}\). Ale to jest sprzeczność z warunkiem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \matbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)=1}\)
Wobec dowolności \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) kończy to dowód.
Jakoś strasznie brzydacko, ale mam weekendowy nastrój i kiepsko myślę (tzn. jeszcze gorzej niż zwykle, a to już osiągnięcie ).

[piotr2]

Okej, tak to się zgadzam, z tym że znowu się pomyliłem w treści zadania i miało być nie według prawdopodobieństwa (bo właśnie wydawało mi się, że taka implikacja jest prawdziwa i dlatego tak napisałem) a z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno). I to już nie jest prawda?

[Premislav]

Trochę przesada, że nawet nie chce Ci się dobrze spojrzeć, jakie masz zadanie.
Zbieżność prawie na pewno też tu zachodzi - spójrz na definicję zbieżności p.n.
Potem spójrz na ten fragment zadania. Co widzisz?