Zbieżność według prawdopodobieństwa
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Na ćwiczeniach było zadanie (jako część większego) pokazać, że ciąg iid zmiennych losowych zbiega według prawdopodobieństwa do 0. Na tablicy pojawiło się takie oto rozwiązanie, według mnie niepoprawne i chciałbym to potwierdzić. A rozwiązanie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ P(X_n=0)=q^n,\ q\in (0;1)}\) to łatwo wynikało z treści zadania i teraz część do której nie jestem przekonany:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}P(X_n=0)=0 \Rightarrow X_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) według prawdopodobieństwa.
\(\displaystyle{ P(X_n=0)=q^n,\ q\in (0;1)}\) to łatwo wynikało z treści zadania i teraz część do której nie jestem przekonany:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}P(X_n=0)=0 \Rightarrow X_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) według prawdopodobieństwa.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Ej, kierwa, może głupi jestem, ale skoro \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=0)=q^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q\in (0;1)}\), to te zmienne wcale nie są iid, bo nie mają id.
Już nie wspominając o tym, że ta implikacja niżej jest do niczego.
Już nie wspominając o tym, że ta implikacja niżej jest do niczego.
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Tak, rzeczywiście masz rację, nie mają tego samego rozkładu, coś przekręciłem, ale w tym przypadku to bez znaczenia raczej. Główną ideą pytania była implikacja po przejściu granicznym.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbieżność według prawdopodobieństwa
No to OK, pokażę, dlaczego uważam tę implikację za bzdurę:
rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych z rozkładami dwupunktowymi:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=0)=q^{n}, \mathbb{P}(X_{n}=1)=1-q^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\). Istotnie mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(X_{n}=0)=0}\), lecz
rozpatrując \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2}}\) widzimy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}\left(\left| X_{n}\right| \ge \frac{1}{2}\right) =1}\), co przeczy zbieżności wg prawdopodobieństwa do zera.
Czyli albo coś źle przepisane, albo tam były jakieś dziwaczne dodatkowe warunki, albo po prostu koszmarny błąd w rozumowaniu.
PS Walone nawiasy, niech mnie one cmokną w niewymowne części.
rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych z rozkładami dwupunktowymi:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=0)=q^{n}, \mathbb{P}(X_{n}=1)=1-q^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\). Istotnie mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(X_{n}=0)=0}\), lecz
rozpatrując \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2}}\) widzimy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}\left(\left| X_{n}\right| \ge \frac{1}{2}\right) =1}\), co przeczy zbieżności wg prawdopodobieństwa do zera.
Czyli albo coś źle przepisane, albo tam były jakieś dziwaczne dodatkowe warunki, albo po prostu koszmarny błąd w rozumowaniu.
PS Walone nawiasy, niech mnie one cmokną w niewymowne części.
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Oj, późno już i się fatalnie pomyliłem. Tam miało być \(\displaystyle{ P(X_n=0)=1-q^n}\), ale nadal wydaję mi się, że to jest źle, gdyż przy zbieżności prawie na pewno powinniśmy mieć \(\displaystyle{ P(\lim ...)}\), prawda?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Noo, to bardzo zmienia postać rzeczy. I w takim wypadku (bo mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(X_{n}=0)=1}\)) to już będzie działało (jeśli było napisane \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(X_{n}=0)=0}\), to można domniemywać, ze to cyfrówka i miało być jeden):
ogólnie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\matbb{P}(X_{n}=X)=1}\) wynika, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_{n})_{n \in \NN}}\) zbiega wg prawdopodobieństwa do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Dowód: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=X)=\mathbb{P}(X_{n}-X=0)=\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)}\).
Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right| \ge \epsilon)=\lim_{n \to \infty }1-\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1- \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )}\). Gdyby nie było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1}\), to równoważnie istniałby taki podciąg \(\displaystyle{ (n_{k})_{k \in \NN}}\) indeksów rozbieżny do nieskończoności i takie \(\displaystyle{ q>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) byłoby \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left| X_{n_{k}}-X\right| \ge \epsilon) \ge q}\). Ale to jest sprzeczność z warunkiem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \matbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)=1}\)
Wobec dowolności \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) kończy to dowód.
Jakoś strasznie brzydacko, ale mam weekendowy nastrój i kiepsko myślę (tzn. jeszcze gorzej niż zwykle, a to już osiągnięcie ).
ogólnie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\matbb{P}(X_{n}=X)=1}\) wynika, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_{n})_{n \in \NN}}\) zbiega wg prawdopodobieństwa do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Dowód: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n}=X)=\mathbb{P}(X_{n}-X=0)=\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)}\).
Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right| \ge \epsilon)=\lim_{n \to \infty }1-\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1- \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )}\). Gdyby nie było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbb{P}(\left| X_{n}-X\right|<\epsilon )=1}\), to równoważnie istniałby taki podciąg \(\displaystyle{ (n_{k})_{k \in \NN}}\) indeksów rozbieżny do nieskończoności i takie \(\displaystyle{ q>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) byłoby \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left| X_{n_{k}}-X\right| \ge \epsilon) \ge q}\). Ale to jest sprzeczność z warunkiem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \matbb{P}(\left| X_{n}-X\right|=0)=1}\)
Wobec dowolności \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) kończy to dowód.
Jakoś strasznie brzydacko, ale mam weekendowy nastrój i kiepsko myślę (tzn. jeszcze gorzej niż zwykle, a to już osiągnięcie ).
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Okej, tak to się zgadzam, z tym że znowu się pomyliłem w treści zadania i miało być nie według prawdopodobieństwa (bo właśnie wydawało mi się, że taka implikacja jest prawdziwa i dlatego tak napisałem) a z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno). I to już nie jest prawda?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbieżność według prawdopodobieństwa
Trochę przesada, że nawet nie chce Ci się dobrze spojrzeć, jakie masz zadanie.
Zbieżność prawie na pewno też tu zachodzi - spójrz na definicję zbieżności p.n.
Potem spójrz na ten fragment zadania. Co widzisz?
Zbieżność prawie na pewno też tu zachodzi - spójrz na definicję zbieżności p.n.
Potem spójrz na ten fragment zadania. Co widzisz?