Dowód własności martyngału

Alef · Post autor: **Alef** » 21 wrz 2015, o 23:00

Nie. Masz kontrprzykład.

Nie wiem skąd bierzesz te "twierdzenia" ale to już drugi raz kiedy próbujesz dowieść fałszu

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 21 wrz 2015, o 23:28

Twierdzenie brzmi: \(\displaystyle{ (M_t)_{t\in [0,T]}}\) jest martyngałem \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \mathbb{E}M_t=\mathbb{E}M_0=0}\).

A takie będzie prawdziwe?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 21 wrz 2015, o 23:41

Nie znam się na martyngałach, ale znowu kontrprzykład Alefa pasuje, w dodatku bez żadnych zmian.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 21 wrz 2015, o 23:56

Hmm, to skąd ja sobie ubzdurałem, że coś podobnego do tego jest?

Alef, u Kalleneberga w rozdziale 7 znalazłem takie twierdzenie, tyle, że dla 2 stopping time'ów, które przyjmują co najwyżej 2 wartości.

Alef · Post autor: **Alef** » 22 wrz 2015, o 09:02

Ciężko mi coś więcej powiedzieć gdyż nie mam i nie znam tej książki.

Generalnie w czasie dyskretnym i ciągłym prawdą jest jedynie, że:

Jeżeli proces stochastyczny \(\displaystyle{ (X_{t})_{t\in\mathcal{T}}}\)jest martyngałem, to \(\displaystyle{ E[X_{t}]=E[X_{s}]=a\in\mathbb{R}}\) dla każdego \(\displaystyle{ t,s\in\mathcal{T}}\).

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 wrz 2015, o 09:18

Najlepiej jest przepisywać całe twierdzenie nie zmieniając wcale jego treści, wtedy można uniknąć nieporozumień. Chyba chodzi o lemat 7.13:

Let \(\displaystyle{ M}\) be an integrable, adapted process on some index set \(\displaystyle{ T}\). Then \(\displaystyle{ M}\) is a martingale iff \(\displaystyle{ EM_\sigma = EM_\tau}\) for any \(\displaystyle{ T}\)-valued optional times \(\displaystyle{ \sigma}\) and \(\displaystyle{ \tau}\) that take at most two values.