Rozkład zmiennej

[PiotrWP]

Zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\).Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ T=X-Y}\).

Gęstością będzie kwadrat jednostkowy \(\displaystyle{ [0,1]\times[0,1]}\) o wartości \(\displaystyle{ 1}\) :
\(\displaystyle{ F_T(t)=P(x-y \le t)}\)
Dla \(\displaystyle{ t<-1}\)
\(\displaystyle{ F_T(t)=0}\)
Dla \(\displaystyle{ tin[-1,0)}\)
\(\displaystyle{ F_T(t)= \int_{0}^{-t}dx \int_{x-t}^{1}1 \cdot dy=- \frac{3}{2}t^2-t}\)

No i tu już zaczyna mi się coś nie podobać bo powinna wyjść chyba nieujemna funkcja niemalejąca (na podanym przedziale).A ona jest nie dość że niemonotoniczna to jeszcze przyjmuje wartości ujemne.

[rafalpw]

W pierwszej całce górna granica powinna wynosić \(\displaystyle{ t+1}\) , bo \(\displaystyle{ x}\) zmieniają się od \(\displaystyle{ 0}\) do punktu, dla którego \(\displaystyle{ y=x-t}\) przecina prostą \(\displaystyle{ y=1}\) , czyli \(\displaystyle{ x=t+1}\) .

[PiotrWP]

Ale to jak tam jest trójkąt równoramienny to nie powinien odcinać na osi Y \(\displaystyle{ -t}\) i tak samo na tej prostej \(\displaystyle{ y=1}\) ?

[rafalpw]

Wystarczy wstawić do równania prostej: \(\displaystyle{ y=x-t}\) kolejno \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=1}\) , aby się przekonać, że nie.

To jest trójkąt równoboczny, ale patrzysz na złe boki. Równymi bokami są odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) , gdzie \(\displaystyle{ A=\left( 0,-t\right)}\),\(\displaystyle{ B=\left( 0,1\right)}\) i \(\displaystyle{ C=\left( t+1,1\right)}\) i zauważ, że długość odcinka\(\displaystyle{ AB}\) wynosi właśnie: \(\displaystyle{ 1-\left( -t\right) =1+t}\) , więc wszystko się zgadza.