Prawdopodobieństwo geometryczne trójkąty

krisso14 · Post autor: **krisso14** » 31 maja 2015, o 11:09

Mamy odcinek od długości \(\displaystyle{ 10cm}\).Dzielimy go losowo na trzy odcinki \(\displaystyle{ x,y,z}\):
a. Jakie jest prawdopodobieństwo że z otrzymanych odcinków da się zrobić trójkąt
b. Jakie jest prawdopodobieństwo że otrzymany trójkąt będzie ostrokątny(kąty mniejsze od \(\displaystyle{ 90^\circ}\))

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 2 cze 2015, o 10:01

W a) możesz użyć prawdopodobieństwa geometrycznego. Narysuj sobie kwadrat \(\displaystyle{ 10 \times 10}\) i umówmy się, że będziesz zaznaczał punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\) odpowiadające "trójkątom" z boków \(\displaystyle{ x, y, 10-x-y}\). Sprawdź nierówność trójkąta.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 3 cze 2015, o 07:39

Medea 2, Jak na kwadracie zaznaczyć 10-x-y?

Innaczej:
a)W 365268.htm#p5238147 zamiast 1 wstaw 10.
b)nawiązując do a) trzeba wyznaczyć pole trójkąta krzywoliniowego na płaszczyźnie \(\displaystyle{ x+y+z-10=0}\) ograniczonego stożkami \(\displaystyle{ z \le \sqrt{x^2+y^2}, \ \ \ y \le \sqrt{x^2+z^2}, \ \ \ x \le \sqrt{z^2+y^2}}\).

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 3 cze 2015, o 09:10

Zaznaczam tylko punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\), które spełniają stosowne nierówności. Problem w tym, że nie określono tu metody losowania podziału na odcinki, więc boję się, że może wystąpić tu zakamuflowany paradoks Bertranda. (Niżej animacja: zaznaczam zbiory spełniające "kolejne" nierówności).

Kod: Zaznacz cały

https://imgflip.com/gif/mdieh

: AU; mdieh.gif (19.83 KiB) Przejrzano 99 razy

[/url]

W punkcie b) też przyda się wizualizacja, oto ona (kolejno zaznaczam: \(\displaystyle{ x^2+ y^2 > z^2}\), \(\displaystyle{ x^2 + z^2 > y^2}\) i \(\displaystyle{ y^2 + z^2 > x^2}\), gdzie \(\displaystyle{ z = 10-x-y}\)):

Kod: Zaznacz cały

https://imgflip.com/gif/mdidd

: AU; mdidd.gif (21.04 KiB) Przejrzano 99 razy

[/url]

kerajs · Post autor: **kerajs** » 4 cze 2015, o 20:52

Gdyby rzutować pola z mojej podpowiedzi na XOY to dostaje się rozwiązanie Medea2 . Zauważ że pola figur rzutowanych i ich rzutów są proporcjonalne. A przy okazji, zamiast trójkąta krzywoliniowego ograniczonego elipsami dostaje się dużo łatwiejsze do policzenia pole ograniczone okręgami.

@Medea2
Fajna wizualizacja problemu.
Ja dodałbym do gifów trójkąt przy początku układu, aby pokazać że Omegą nie jest trapez (jak się niektórym może wydawać).