W urnie znajduje się \(\displaystyle{ n}\) kul z kolejnymi liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\).
Losujemy kulę, niech \(\displaystyle{ k}\) będzie napisaną na niej liczbą. Wrzucamy kulę
z powrotem do urny, a następnie losujemy z urny (bez zwracania) \(\displaystyle{ k}\) kul.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{E} (n)}\) będzie wartością oczekiwaną sumy liczb na wylosowanych \(\displaystyle{ k}\)
kulach. \(\displaystyle{ \mathbb{E} (n)}\) = ?
Ktoś ma jakiś pomysł?
EDIT: Temat do przeniesienia do odpowiedniego działu.
Wartość oczekiwana dla losowań z urny
-
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Wartość oczekiwana dla losowań z urny
Ostatnio zmieniony 30 maja 2015, o 16:14 przez gblablabla, łącznie zmieniany 1 raz.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Wartość oczekiwana dla losowań z urny
Mathematica: : jeśli w urnie jest \(\displaystyle{ n}\) kul, to odpowiedzią jest połowa z
\(\displaystyle{ (n+1) \cdot 2^n-n-1 = \sum_{j=0}^n (n+j) \cdot 2 ^{n-j-1}.}\)
nadzieja[n_] := Total[Map[Total[#]/Length[#] &, Subsets[Range[1, n], {1, n}]]]
. Po konsultacjach z Kod: Zaznacz cały
https://oeis.org/A058877
\(\displaystyle{ (n+1) \cdot 2^n-n-1 = \sum_{j=0}^n (n+j) \cdot 2 ^{n-j-1}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Wartość oczekiwana dla losowań z urny
Medea 2, a mi wyszło inaczej...
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{ {n - 1 \choose k - 1} \cdot i }{ {n \choose k} } = \left( \frac{n + 1}{2} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{ {n - 1 \choose k - 1} \cdot i }{ {n \choose k} } = \left( \frac{n + 1}{2} \right) ^{2}}\)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Wartość oczekiwana dla losowań z urny
Przyznaję - gapa ze mnie, bo nie powinnam dzielić przez rozmiar zbioru, tylko rozmiar zbioru razy stosowny symbol Newtona.
Twój wzór jest okej. Masz jeszcze jakieś pytania?
Twój wzór jest okej. Masz jeszcze jakieś pytania?
-
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy