rozkład wykładniczy i gamma

[studenttt91]

Jak pokazać, że jeżeli zmienne \(\displaystyle{ X_1, X_2 , \ldots , X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczymz parametrem \(\displaystyle{ \lamba}\) ma rozkład gamma \(\displaystyle{ \Gamma (n, \lambda)}\)

[rafalpw]

Rozumiem, że chciałeś napisać, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}X_k}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \Gamma (n, \lambda)}\) , jeśli \(\displaystyle{ X_k}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\).

Najłatwiej chyba to pokazać korzystając z funkcji charakterystycznych, a jeśli nie, to można pokazać, że jeśli\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \Gamma(n,\lambda)}\) a \(\displaystyle{ Y}\) wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) i \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \Gamma(n+1,\lambda)}\) i dalej indukcyjnie.