Strona 1 z 1

gęstość zmiennej losowej

: 27 maja 2015, o 11:50
autor: Auster
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym, X z parametrem 1 oraz Y z parametrem 2. Wyznacz gęstość zmiennej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{2Y+1}.}\)


Wiemy, że \(\displaystyle{ f_X= \begin{cases} e^{-x} \text{ dla } x \ge 0 \\ 0 \text{ dla pozostałych } \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \\}\) oraz \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ f_Y= \begin{cases} -2e^{-2y} \text{ dla } x \ge 0\\ 0 \text{ dla pozostałych } \end{cases}}\)

Powinniśmy teraz znaleźć \(\displaystyle{ F_U(t)=P(U<t)=P(\frac{X}{2Y+1} < t)=P(X<t(2Y+1))=P(y> \frac{x-t}{2t} )= \int_{ -\infty }^{\infty}\left[ 1 - F_Y(\frac{x-t}{2t})\right] f_X(x)dx}\)

Może ktoś ocenić poprawność?