Rozwianie wątpliwości

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mxxm94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 21 sty 2015, o 23:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Rozwianie wątpliwości

Post autor: mxxm94 »

Witam,
Czy zbieżność czegoś takiego jest oczywista \(\displaystyle{ \frac{ X ^{2} _{1} +X^{2} _{2} +...+X^{2} _{n} }{n} \rightarrow EX^{2}_{1}}\)?
Tzn. jeśli założymy, że zmienne są niezależne, o jednakowym rozkladzie i \(\displaystyle{ E\left| X _{1} \right|< \infty}\)?
Jeśli tak to czy może ktoś mi to krótko wyjaśnić ?
Everard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Pomógł: 49 razy

Rozwianie wątpliwości

Post autor: Everard »

Potrzebujesz jeszcze \(\displaystyle{ EX_1^2<\infty}\), oczywiście.

Niech \(\displaystyle{ EX^2_1=\mu}\).

Popatrz na to z perspektywy centralnego twierdzenia granicznego. Z CTG masz, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n}(\frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu)\rightarrow N(0,\cdot)}\)
(wariancja jest jakaśtam, nieważne jaka).

Zatem, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{n}\to \infty,}\) jasne jest, że \(\displaystyle{ \frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu\to 0}\).
No a to jest dokładnie to o co Ci chodzi.

Naturalnie, zbieżność trzeba odpowiednio interpretować - tu mamy zbieżność rozkładów do zmiennej losowej stale równej określonej liczbie.
ODPOWIEDZ