Witam,
Czy zbieżność czegoś takiego jest oczywista \(\displaystyle{ \frac{ X ^{2} _{1} +X^{2} _{2} +...+X^{2} _{n} }{n} \rightarrow EX^{2}_{1}}\)?
Tzn. jeśli założymy, że zmienne są niezależne, o jednakowym rozkladzie i \(\displaystyle{ E\left| X _{1} \right|< \infty}\)?
Jeśli tak to czy może ktoś mi to krótko wyjaśnić ?
Rozwianie wątpliwości
-
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Rozwianie wątpliwości
Potrzebujesz jeszcze \(\displaystyle{ EX_1^2<\infty}\), oczywiście.
Niech \(\displaystyle{ EX^2_1=\mu}\).
Popatrz na to z perspektywy centralnego twierdzenia granicznego. Z CTG masz, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n}(\frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu)\rightarrow N(0,\cdot)}\)
(wariancja jest jakaśtam, nieważne jaka).
Zatem, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{n}\to \infty,}\) jasne jest, że \(\displaystyle{ \frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu\to 0}\).
No a to jest dokładnie to o co Ci chodzi.
Naturalnie, zbieżność trzeba odpowiednio interpretować - tu mamy zbieżność rozkładów do zmiennej losowej stale równej określonej liczbie.
Niech \(\displaystyle{ EX^2_1=\mu}\).
Popatrz na to z perspektywy centralnego twierdzenia granicznego. Z CTG masz, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n}(\frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu)\rightarrow N(0,\cdot)}\)
(wariancja jest jakaśtam, nieważne jaka).
Zatem, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{n}\to \infty,}\) jasne jest, że \(\displaystyle{ \frac{X_1^2+...+X_n^2}{n}-\mu\to 0}\).
No a to jest dokładnie to o co Ci chodzi.
Naturalnie, zbieżność trzeba odpowiednio interpretować - tu mamy zbieżność rozkładów do zmiennej losowej stale równej określonej liczbie.