Oblicz \(\displaystyle{ \ \ \ E(e ^{i \alpha X _{t} }| \mathcal{F} _{s} ), \ \ \ \alpha \in R, \ \ \ \ 0 \le s,t.}\) korzystając z niezależność przyrostów dla procesów Wienera i Poissona.
Jakieś wskazówki?
proces Wienera i Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
proces Wienera i Poissona
Wskazówka:
\(\displaystyle{ E(e ^{i \alpha X _{t} }| \mathcal{F} _{s} ) = E(e ^{i \alpha (X _{t}-X_s) +i \alpha (X_s-X_0) }| \mathcal{F} _{s} )}\)
\(\displaystyle{ E(e ^{i \alpha X _{t} }| \mathcal{F} _{s} ) = E(e ^{i \alpha (X _{t}-X_s) +i \alpha (X_s-X_0) }| \mathcal{F} _{s} )}\)
proces Wienera i Poissona
Wiem, że rozbijam na niezależne przyrosty i wychodzi\(\displaystyle{ E(e ^{i \alpha (X _{t}-X_s)} \cdot e ^{i \alpha (X_s-X_0)}|\mathcal{F} _{s})}\). Teraz z niezależności korzystamy skoro tam jest mnożenie?
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
proces Wienera i Poissona
Tak. Pierwszy czynnik jest nie zależy od sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F} _{s}}\) i wyjdzie odpowiednia funkcja charakterystyczna. Drugi jest mierzalny. Tak więc korzystasz tylko z własności WWO i wszystko się trywializuje.