Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \ \ \ E(e ^{i \alpha X _{t} }| \mathcal{F} _{s} ), \ \ \ \alpha \in R, \ \ \ \ 0 \le s,t.}\) korzystając z niezależność przyrostów dla procesów Wienera i Poissona.
Jakieś wskazówki?

Wskazówka:

\(\displaystyle{ E(e ^{i \alpha X _{t} }| \mathcal{F} _{s} ) = E(e ^{i \alpha (X _{t}-X_s) +i \alpha (X_s-X_0) }| \mathcal{F} _{s} )}\)

Wiem, że rozbijam na niezależne przyrosty i wychodzi\(\displaystyle{ E(e ^{i \alpha (X _{t}-X_s)} \cdot e ^{i \alpha (X_s-X_0)}|\mathcal{F} _{s})}\). Teraz z niezależności korzystamy skoro tam jest mnożenie?

Tak. Pierwszy czynnik jest nie zależy od sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F} _{s}}\) i wyjdzie odpowiednia funkcja charakterystyczna. Drugi jest mierzalny. Tak więc korzystasz tylko z własności WWO i wszystko się trywializuje.

Ok, dzięki bardzo