Twierdzenia graniczne

[squared]

Mam parę zadań dotyczących twierdzeń granicznych i chyba gdzieś popełniam błąd.

1) Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 6 orłów w 10 rzutach oraz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 600 orłów w 1000 rzutach.

Zatem przykład pierwszy: \(\displaystyle{ P\{ \xi > 6 \} = 1 P \{\xi \le 6\} \approx 1 - P\{ \eta \le \frac{6-10 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{10\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{2}}} \} =1 - \phi(0.63) \approx 0.2643}\)

Wynik powiedzmy, że sensowny. No, ale w drugim przypadku to już w ogóle nie
\(\displaystyle{ P\{ \xi > 600 \} = 1 P \{\xi \le 600\} \approx 1 - P\{ \eta \le \frac{600-1000 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1000\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{2}}} \} =1 - \phi(6.32) \approx 1}\)
No bez sensu, wiadomo. Gdzie popełniam błąd?

2) Ile razy trzeba rzucić monetą, aby prawdopodobieństwo, że frakcja otrzymanych orłów jest w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0.499,0.501\right)}\), wynosiło \(\displaystyle{ 0.99}\)?

Tutaj, przyznam się szczerze, nie rozumiem pojęcia frakcji w tym kontekście.


3) Na pewnej uczelni studiuje 10000 studentów. Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba studentów, którzy nie ukończą studiów zawarta jest w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 300,400\right]}\), jeśli wiadomo, że średnio pięć procent studentów odchodzi z uczelni przed zakończeniem studiów.

Próbowałem następująco.
\(\displaystyle{ n=10000,p=0.05, q=0.95}\)
\(\displaystyle{ P\{300<\xi<400\} =P\{\frac{300-10000\cdot 0.05}{\sqrt{10000\cdot 0.05\cdot 0.95}}<\eta<\frac{400-10000\cdot 0.05}{\sqrt{10000\cdot 0.05\cdot 0.95}}\} \approx P\{-9.18<\eta<-4.59\}=\phi(-9.18) - \phi(-4.59)}\)

Nie wiem, czy dobrze to policzyłem...

[robertm19]

W pierwszym zadaniu, przypadek 1: za mało obserwacji. Policzyłem z rozkładu Bernoulliego i wyszło 0.3769, więc jest różnica.
W drugim przypadku Twój wynik to w przybliżeniu 0. Co wygląda sensownie, bo przy 1000 rzutach raczej liczymy że będzie juz widoczny rozkład równomierny orłów i reszek.-- 24 maja 2015, 09:14 --Zadanie 2 :

\(\displaystyle{ P(0.499\leq \frac{S_n}{n}\leq0.501)=0.99}\) i też z CTG.

[squared]

Ja wiem że moje wyniki sa bez sensu. Wiem ze bezpośrednio z Bernoulliego są inne wyniki. Wszystkiego jestem świadomy. Ale to nie rozwiązuje zagadki złych wyników. I pytam się gdzie popełniłem blad .

[robertm19]

To jest źle
\(\displaystyle{ 1 - \phi(6.32) \approx 1}\), powinno być \(\displaystyle{ 1 - \phi(6.32) \approx 0}\)

[squared]

Dziękuję, za czy zadanie trzecie mam dobrze i pierwsze podpunkt a ? Znaczy trzecie jest xle, bo wyjdzie ujemne...

[robertm19]

Trzecie źle bo powinno byc na odwrót.
\(\displaystyle{ P\{-9.18<\eta<-4.59\}= \phi(-4.59)-\phi(-9.18)}\).
Czy tak niskie prawdopodobieństwo zaskakuje Cię?

[squared]

No, ale dlaczego ma być na odwrót skoro, tak wyszło z obliczeń

[robertm19]

Bo \(\displaystyle{ P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)}\) dla zmiennej o ciągłym rozkładzie.