gęstość - dodatkowe z gwiazdka

[alfred0]

Na jakim poziomie jest to zadanie, tak sie zasatanawiam, bo było jako dodatkowe i nikt nie zrobił. Moze ktos sie pokusi o rozwiazanie

\(\displaystyle{ X , Y}\) to niezależne zmienne losowe o gęstościach \(\displaystyle{ f(X)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ f(Y)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+y^2} , x,y\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ Z=\left\{\begin{array}{rl}
Y, & |Y|>1 \\
-Y, & |Y|\leq 1
\end{array}
\right.}\)
Znaleźć gęstość \(\displaystyle{ f(V)}\) jeśli \(\displaystyle{ V=X+Z}\)

[rafalpw]

Wskazówka:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ Z}\) ma ten sam rozkład co \(\displaystyle{ Y}\)

[alfred0]

Wskazówka:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ Z}\) ma ten sam rozkład co \(\displaystyle{ Y}\)

no tak to wynika z symetryczności, ale problemem jest obliczenie gęstości sumy X i Y

[rafalpw]

Na to jest wzór:

\(\displaystyle{ f_V(v)= \int_{- \infty}^{+ \infty} f_X(s)f_Z(v-s) \mbox{d}s}\).

Problem polega na wyliczeniu tej całki ?

EDIT: Całka jest rzeczywiście brzydka. Jeśli się zna funkcje charakterystyczne to łatwo można pokazać, że \(\displaystyle{ X+Z}\) ma ten sam rozkład co \(\displaystyle{ 2X}\). Mając tę wiedzę już można spokojnie wyznaczyć gęstość.

[alfred0]

czyli ta gęstość wynosi \(\displaystyle{ f_V(x)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+(2x)^2}}\) ?

[rafalpw]

Nie.

[alfred0]

no to nie wiem

[rafalpw]

\(\displaystyle{ F_{2X}(x)=\mathbb{P}\left( 2X \le x\right)=\mathbb{P}\left( X \le \frac{x}{2} \right)=F_X\left( \frac{x}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ f_{2X}(x)=\left( F_{2X}(x)\right)' =\hdots}\)