Witam. Zacięłam się przy rozwiązywaniu pewnego zadania. Wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ (x,y): x,y \ge 0 ,x^2+y^2 \le 1 \right\}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \EE(X^2 Y|Y)}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ Y}\) jest mierzalny względem \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) zatem problem sprowadza się do obliczenia \(\displaystyle{ \EE(X^2|Y)}\). Będę wdzięczna za każdą pomoc.
warunkowa wartość oczekiwana
warunkowa wartość oczekiwana
pozwolę sobie odgrzebać ten temat.
\(\displaystyle{ E(X^2|Y=y)= \int_{D}^{}x^2f_{X|y}(x,y)dx}\), gdzie D- to obszar tej ćwiartki okręgu.
\(\displaystyle{ f_{X|y}(x,y)= \frac{4}{ \pi }1_{D}(x,y)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)= \int_{D}^{}\frac{4}{ \pi }1_{[0, \sqrt{1-y^2}] }(x)dx=\frac{4}{ \pi }\sqrt{1-y^2}1_{[0, 1] }(y)}\)
i teraz:
\(\displaystyle{ E(X^2|Y=y)= \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x^2 \frac{\frac{4}{ \pi }}{\frac{4}{ \pi }\sqrt{1-y^2}}1_{[0, 1] }(y)}\).
może mi ktoś napisać,czy to jest ok?
\(\displaystyle{ E(X^2|Y=y)= \int_{D}^{}x^2f_{X|y}(x,y)dx}\), gdzie D- to obszar tej ćwiartki okręgu.
\(\displaystyle{ f_{X|y}(x,y)= \frac{4}{ \pi }1_{D}(x,y)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)= \int_{D}^{}\frac{4}{ \pi }1_{[0, \sqrt{1-y^2}] }(x)dx=\frac{4}{ \pi }\sqrt{1-y^2}1_{[0, 1] }(y)}\)
i teraz:
\(\displaystyle{ E(X^2|Y=y)= \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x^2 \frac{\frac{4}{ \pi }}{\frac{4}{ \pi }\sqrt{1-y^2}}1_{[0, 1] }(y)}\).
może mi ktoś napisać,czy to jest ok?