Dystrybuanta - pokazać własność

[matematix]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o wartościach nieujemnych o dystrybuancie \(\displaystyle{ F _{X}}\) takiej, że istnieje pochodna \(\displaystyle{ F' _{X} = f _{X}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }xf _{X}(x)dx= \int_{0}^{ \infty} (1-F _{X}(x))dx}\).

Jak zabrać się za to zadanie?

[robertm19]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }xf _{X}(x)dx=\int_{0}^{ \infty }f _{X}(x)\int_{0}^{ x}dy dx}\)
zmieniamy kolejność całkowania
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }\int_{y}^{ \infty}f _{X}(x) dxdy=\int_{0}^{ \infty }(1-F(y))dy}\)