Wzór Poincare - dowód z wł. sigma-ciał, trójkąt ostrokątny

[krantox]

1. Korzystając z definicji prawdopodobieństwa oraz własności sigma-ciał udowodnij, że dla dowolnych dwóch zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ P\left(A \cup B\right)+P\left(A \cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)}\)

2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo wierzchołki \(\displaystyle{ (2n+1)}\)-kąta foremnego otrzymamy trójkąt ostrokątny.

[ZF+GCH]

1. Chodzi o to, że różnica zbiorów jest w sigma-ciele. Korzystasz wtedy z addytywności pstwa. Zadanie polega tylko na sensownym rozbiciu zbiorów, których pstwa liczysz. Powiedz sobie, które zdarzenie elementarne pojawiają się raz "po lewej stronie i po prawej", które dwa razy. Zrób rysunek.

[krantox]

Tezę zmieniłem na \(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A \cup B\right)}\).
Następnie:
\(\displaystyle{ P\left(A\right)=P\left( (A \setminus B) \cup (A \cap B\right)=P\left(A \setminus B\right)+P\left(A \cap B\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ P\left(A \cup B\right)=P\left( (A \setminus B) \cup B\right)=P\left(A \setminus B\right)+P\left(B\right)}\)

Zgadza się?

[ZF+GCH]

Dokładnie tak.

[robertm19]

2. Jeśli się nie pomyliłem, to do zbudowania trójkąta ostrokątnego potrzebne jest aby odległość między wylosowanymi wierzchąłkami liczona ilością krawędzie musi być względem dowolnych dwóch mniejsza lub równa n.