Rozkład zmiennej losowej

[matematix]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład Poissona, tzn. \(\displaystyle{ P(N=k)= \frac{e ^{-\alpha } \cdot \alpha ^{k} }{k!}}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ \alpha >0,k=0,1,2,...}\). Zmienna \(\displaystyle{ M}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P(M=k)= \frac{e ^{- \beta } \cdot \beta ^{k} }{k!}}\), \(\displaystyle{ \beta>0,k=0,1,2,...}\). Zakładając, że zmienne \(\displaystyle{ M,N}\) są niezależne, oblicz \(\displaystyle{ P(M+N=k)}\)

Proszę o pomoc

EDIT. Próbuję zrobić to tak:
\(\displaystyle{ P(M+N=k)= \sum_{x=0}^{k}P(M=x, N=k-x)= \sum_{x=0}^{k} P(M=x) \cdot P(N=k-x)= \sum_{x=0}^{k} \frac{e ^{- \beta } \beta ^{x} }{x!} \cdot \frac{e ^{- \alpha } \alpha ^{k-x} }{(k-x)!} = \sum_{x=0}^{k} \frac{e ^{- \alpha - \beta } \alpha ^{k-x} \beta ^{x} }{x!(k-x)!}=e ^{- \alpha - \beta } \sum_{x=0}^{k} \frac{\beta ^{x} \alpha ^{k-x} }{x!(k-x)!}}\)
Tyle, że nie mam pojęcia jak wyliczyć tą ostatnią sumę...

Być może trzeba skorzystać ze wzoru: \(\displaystyle{ e^{x}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x ^{n} }{n!}}\), ale w tym wypadku nie mam pomysłu jak.

[Medea 2]

Wskazówka.

\(\displaystyle{ \frac{\exp(-\alpha-\beta)}{k!} \sum_{t=0}^{k} \frac{\beta ^t \alpha ^{k-t}\cdot k!}{t!(k-t)!} = \frac{\exp(-\alpha-\beta)}{k!} (\beta + \alpha)^k.}\)

[matematix]

A skąd ta równość?

[Premislav]

Ze wzoru dwumianowego Newtona, bo \(\displaystyle{ \frac{k!}{t!(k-t)!}={k \choose t}}\)