Jaki jest rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = XY}\), jeśli:
\(\displaystyle{ X,Y - i.i.d}\)
\(\displaystyle{ f_X(x) = \frac{2}{\pi(x^2+4)}}\)
Rozkład iloczynu zmiennych losowych
-
elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Rozkład iloczynu zmiennych losowych
To jest gęstość? Wskazówka: dystrybuanta to
\(\displaystyle{ \frac{\arctan (x/2)}{\pi} + \frac 12}\)
Rozbij \(\displaystyle{ P(XY \le u)}\) na dwa przypadki: \(\displaystyle{ u \le 0}\), \(\displaystyle{ u > 0}\). Dalej: \(\displaystyle{ X}\) ujemne lub dodatnie. Powodzenia!
Mathematica mówi, że
dla \(\displaystyle{ u=x <0}\) to
\(\displaystyle{ \frac{x \Phi \left(\frac{x^2}{16},2,\frac{1}{2}\right)+16 \log \left(-\frac{4}{x}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)+4 \pi ^2}{8 \pi ^2},}\)
dla reszty chyba
\(\displaystyle{ \frac{x^2 \left(-\Phi \left(\frac{x^2}{16},2,\frac{1}{2}\right)\right)-16 \Phi \left(\frac{16}{x^2},2,\frac{1}{2}\right)+4 x \log \left(\frac{256}{x^4}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)+12 \pi ^2 x-16 x \log \left(\frac{4}{x}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)}{16 \pi ^2 x}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{\arctan (x/2)}{\pi} + \frac 12}\)
Rozbij \(\displaystyle{ P(XY \le u)}\) na dwa przypadki: \(\displaystyle{ u \le 0}\), \(\displaystyle{ u > 0}\). Dalej: \(\displaystyle{ X}\) ujemne lub dodatnie. Powodzenia!
Mathematica mówi, że
Kod: Zaznacz cały
CDF[
TransformedDistribution[
u1 u2, {u1 [Distributed]
ProbabilityDistribution[
2/((4 + [FormalX]^2) [Pi]), {[FormalX], -[Infinity],
[Infinity]}],
u2 [Distributed]
ProbabilityDistribution[
2/((4 + [FormalX]^2) [Pi]), {[FormalX], -[Infinity],
[Infinity]}]}], x]\(\displaystyle{ \frac{x \Phi \left(\frac{x^2}{16},2,\frac{1}{2}\right)+16 \log \left(-\frac{4}{x}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)+4 \pi ^2}{8 \pi ^2},}\)
dla reszty chyba
\(\displaystyle{ \frac{x^2 \left(-\Phi \left(\frac{x^2}{16},2,\frac{1}{2}\right)\right)-16 \Phi \left(\frac{16}{x^2},2,\frac{1}{2}\right)+4 x \log \left(\frac{256}{x^4}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)+12 \pi ^2 x-16 x \log \left(\frac{4}{x}\right) \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)}{16 \pi ^2 x}.}\)