Niezależność zm. losowych

[wiwnes691]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest niezależna sama od siebie. Udowodnić, że \(\displaystyle{ X}\) jest prawie wszędzie stała.

[Medea 2]

Wskazówka. \(\displaystyle{ P(X \in B, X \in B) = P(X \in B) P(X \in B)}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest borelowski, więc \(\displaystyle{ P(X \in B) \in \{0,1\}}\).

[wiwnes691]

no tak tak rzeczywiście ale jak stąd wynika, że\(\displaystyle{ X}\) jest stała? strasznie gubie się w tych wszystkich napisach i oznaczeniach

[musialmi]

Nie wynika bezpośrednio. Zauważ, że teza Medei jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ B}\). Polecam rozpisać sobie z definicji zbiór \(\displaystyle{ \{X \in B\}}\), łatwiej widać o co chodzi.

[wiwnes691]

z definicji \(\displaystyle{ P\left( X \in B\right) = P\left( \left\{ \omega \in \Omega :X(\omega) \in B \right\} \right)}\) jeśli to prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ = 1}\) to \(\displaystyle{ \forall \omega \ X(\omega) \in B}\) a jeśli \(\displaystyle{ =0}\) to \(\displaystyle{ \forall \omega \ X(\omega) \not\in B}\)
Jednak nadal nie widzę tezy

[musialmi]

Pomyśl o \(\displaystyle{ P}\) jako o mierze (w końcu nią jest). Mierzymy zbiory omeg, czyli zbiory na osi argumentów (w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ \omega OX(\omega)}\)). Widzisz o co chodzi?

[wiwnes691]

nie wiem, zupełnie się już pogubiłam

[musialmi]

Mierzymy zbiór omeg (argumentów funkcji \(\displaystyle{ X}\), jesteśmy na osi poziomej). Wiesz od Medei, że jeśli weźmiesz jakiś zbiór \(\displaystyle{ B}\) z osi pionowej, czyli z osi wartości funkcji, to (teraz przeczytaj uważnie i najlepiej kilkukrotnie) miara zbioru omeg, których wartości są w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), wynosi 0 lub 1. Zajmij się na razie przypadkiem, gdy wynosi 1. Co to znaczy, że miara takiego zbioru wynosi 1 (czyli maksymalnie dużo, nie ma większego zbioru)?

[wiwnes691]

wiem, że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B}\) czyli w szczególności np. dla zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\) wtedy skoro miara zbioru omeg, których wartości są w \(\displaystyle{ B}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ X}\) jest stale równa\(\displaystyle{ 2}\)
Czy dobrze myślę? Staram się to wszystko ogarnąć

[musialmi]

Właśnie o to chodzi. Wniosek jest taki, że w każdym zbiorze albo są wartości wszystkich (dokładnie mówiąc: P-prawie wszystkich) omeg, albo żadnych (prawie żadnych). Wydaje mi się, że najlepszym sposobem na dowód na to, że ta funkcja jest stała, jest dowód nie wprost.