Wykaż, że...

[szczygiel123]

Witam wszystkich!
Mam problem z kilkoma dowodami i nie wiem zbytnio nawet jak się za to zabrać

1. Zakładamy, że zdarzenia \(\displaystyle{ A, B, C}\) są niezależne, \(\displaystyle{ A\cap B \cap C = \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ P(A) = P(B) = P(C) = p}\).
Wyznaczyć największą i najmniejszą możliwą wartość p.

2. Wykazać, że w każdej przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \left\langle \Omega, F, P \right\rangle}\) prawdziwa jest teza:
Jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A i Z}\) są niezależne, \(\displaystyle{ P(C) \ge 0, A \cap Z \subset C \subset A \cup Z}\) to \(\displaystyle{ P(A|C) \ge P(A)}\)

3. Załóżmy, że dla pewnych zdarzeń \(\displaystyle{ A, B, D \in F}\) są spełnione nierówności \(\displaystyle{ P(A|D) > P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B|D) > P(B)}\). Wykazać, że stąd wynika, iż \(\displaystyle{ P(A \cap B|D) \ge P(A \cap B)}\) bądź pokazać na przykładzie, że ta nierówność nie musi zachodzić.

Z góry dziękuje za pomoc.

[Medea 2]

Hmh... jeśli \(\displaystyle{ A,B,C}\) są niezależne, to:

\(\displaystyle{ 0 = P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = p^3}\).

Wniosek: największa (jednocześnie najmniejsza) wartość \(\displaystyle{ p}\) to zero

[szczygiel123]

Tak właśnie myślałem, że tak może być, ale nie byłem pewien czy \(\displaystyle{ A \cap B \cap C= \emptyset}\) mogę utożsamić z tym, że \(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C)= 0}\), myślałem że za prosto będzie